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芝诺的悖论

- 卢昌海 -

芝诺 (490 BC - 430 BC)

在所有古希腊先贤的学说中， 荒诞色彩最强的也许要属公元前 5 世纪的哲学家巴门尼德 (Parmenides) 的学说。 巴门尼德认为所有基于 “普遍的原始质料” 的学说有一个共同缺陷， 那就是既宣称世界由 “普遍的原始质料” 组成， 又允许存在不包含 “普遍的原始质料” 的真空。 为解决这一缺陷， 巴门尼德主张真空不存在， 整个世界乃是一个实体性的 “一” (One)， 这个 “一” 均匀、 永恒、 不可分割， 并且是球形的 (球形之外是什么就语焉不详了)。 由此得出的一个直接推论是： 运动是不存在的。 巴门尼德的上述主张及推论是如此荒诞， 公元前 4 世纪的哲学家第欧根尼 (Diogenes) 干脆用走路来反驳它——因为走路分明是一种运动。

不过， 巴门尼德 “料敌” 在先， “一不做二不休” 地宣称了如果他的理论有悖于感觉， 那只不过说明感觉是虚幻的。 读到这里， 大家也许会觉得巴门尼德的学说不仅荒诞， 而且诡辩， 甚至还有些无赖。 不过， 可别小看这种学说， 托年代久远的福， 巴门尼德这种以相当极端的方式重思辨轻实证的学说也算开启了一个流派， 这一流派对若干重要的哲学家产生过程度不等的影响， 并经由他们影响了后世。

从科学史的角度讲， 受巴门尼德影响至深的哲学家首推他的弟子芝诺 (Zeno)——也称为埃利亚的芝诺 (Zeno of Elea)， 以区别于另几位同名的古代哲学家； 其次是古希腊的原子论者 (atomists)——不过后者虽在若干重要方面受巴门尼德影响， 主旨则相当不同。

本文要介绍的是芝诺。

芝诺被柏拉图 (Plato) 笔下的苏格拉底 (Socrates) 揶揄为巴门尼德第二， 他最为后世所知的是一系列悖论。 悖论一词的英文 paradox 出现于 16 世纪， 源自拉丁文的 paradoxum， 后者又源自希腊文的 παράδοξος (parádoxos)， 意为有悖于正统、 出乎定见之外等。 悖论长期以来就很受哲学家青睐， 将年代久远和影响深远综合起来评定的话， 芝诺大约可算是悖论第一人。 由于要 “有悖于正统” 或 “出乎定见之外”， 悖论免不了要包含观点之辨——包括诡辩， 这跟单纯阐述学说是有差别的， 这种差别使芝诺被很多人视为是辩证法 (Dialectics) 的鼻祖。 从这个角度讲， 后来的苏格拉底、 柏拉图， 乃至中国人民特别熟悉的卡尔·马克思 (Karl Marx)、 弗里德里希·恩格斯 (Friedrich Engels) 等人都是程度不等的 “追随者”^[注一]。

据公元 5 世纪的希腊哲学家普罗克洛斯 (Proclus) 记述， 芝诺的著作包含了 40 个悖论。 可惜那著作早已不存， 后世依据的只是柏拉图、 亚里士多德 (Aristotle) 等人的转述^[注二]。

在芝诺的悖论中， 有些已失传， 有些早已无悖可论， 却也有少数几个时至今日仍引起很多人的兴趣， 甚至仍是哲学家的研究课题， 二分悖论 (Dichotomy paradox) 和飞矢悖论 (Arrow paradox) 就是著名的例子——并且都是意在支持巴门尼德关于运动不存在的论断。

其中二分悖论是这样的： 如果你想从一个点 A 运动到另一个点 B， 就必须首先经过运动路径的中点 C₁， 然而想运动到 C₁， 又必须首先经过从 A 到 C₁ 的运动路径的中点 C₂…… 如此以至无穷。 由于中点的数目不可穷尽， 因而无论给你多少时间， 也不可能走完这些中点， 由此可见运动是不可能的。

二分悖论有一个著名的变种叫做阿基里斯与乌龟悖论 (Paradox of Achilles and the Tortoise)。 该悖论中的阿基里斯 (Achilles) 是希腊神话中的勇士， 体力过人、 长于奔跑， 乌龟则是被广泛视为移动缓慢的动物。 阿基里斯与乌龟悖论宣称： 如果阿基里斯与乌龟赛跑， 只要让乌龟先爬一段路， 阿基里斯就不可能追上。 理由是： 每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时， 乌龟总是又往前爬了一段…… 这个过程无法穷尽， 故而阿基里斯不可能追上乌龟。

今天所有学过高等数学的读者也许都能看出二分悖论的误区， 那就是将一个无穷级数的项数无穷与结果无穷混为一谈了。 在适当的单位下， 二分悖论所涉及的无穷级数是 1/2 + 1/4 + ……， 项数是无穷的， 结果却并不因项数无穷就成为无穷， 而仅仅是 1， 是有限的。 因此无论是那无穷多个中点， 还是两两之间那无穷多段路径， 都能在有限时间内走完。

当然， 二分悖论并不是等到高等数学出现之后才被反驳的。 在历史上， 亚里士多德在《物理学》 (Physics) 一书中就给出了一个很漂亮的反驳， 要点是指出芝诺只对空间进行了无穷分割， 却忘记了同样的手法也可用于时间。 只要对时间和空间作同样的无穷分割， 走完芝诺分割出的无穷多个中点 (或两两之间的无穷多段路径) 就只需有限的时间， 因为那实际上是用从有限时间中分割出的无穷多个时间点 (或两两之间的无穷多段时间) 来完成的。 亚里士多德并且还指出， 无论对空间、 时间还是其它连续之物， 我们谈论它们的 “无穷” 时必须区分两种含义： 一种是分割意义上的无穷， 一种是延伸意义上的无穷， 芝诺混淆了两者故而得出了错误结论。 亚里士多德的这一表述跟我们通过无穷级数表述的看法有异曲同工之处， “分割意义上的无穷” 相当于项数无穷， “延伸意义上的无穷” 相当于结果无穷， 将两者混为一谈正是二分悖论的误区。 只不过亚里士多德用的是芝诺自己的手法， 可谓 “以子之矛， 攻子之盾”， 或 “以毒攻毒”， 是论辩的高招。

芝诺的飞矢悖论则是这样的： 一个飞矢 (或任何号称运动的物体) 在每个时刻都占据一个完全固定、 且与自身等大的位置， 因而是不动的。 由于时间是由时刻组成的， 既然飞矢 (或任何号称运动的物体) 在每个时刻都不动， 就只能被认为是不动的， 故而运动是不可能的。

飞矢悖论让我想起美国物理学家理查德·费曼 (Richard Feynman) 在《费曼物理学讲义》 (The Feynman Lectures on Physics) 中关于速度的一段讨论。 在那段有趣的讨论中， 费曼也分析了一些有关速度的诡辩——当然结论跟芝诺完全不同。 通过分析， 费曼给出了速度的定义， 即速度是同时趋于零的位置变化 Δr 与时间间隔 Δt 之比的极限： v = lim_Δt→0 Δr/Δt。 这也正是速度的现代定义， 要点是让时间间隔趋于零。 与现代定义不同， 飞矢悖论相当于将时间间隔变为零 (即所谓 “时刻”)， 相应的位置变化也就不再是趋于零而直接变为了零， 位置变化与时间间隔之比则成了数学上无定义的 0/0。 不仅如此， 芝诺还从 0/0 中反推出速度为 0， 相当于宣称了 0/0 = 0， 语义上虽可惑人， 在数学上则是没有依据的 (这也体现了日常语言在科学分析中的缺陷)。

读者也许好奇， 亚里士多德对飞矢悖论有什么看法。 他的看法简括起来乃是： 谈论物体的运动或静止， 都是依据其在某个时刻的位置与前一时刻的位置的比较而定的， 像芝诺那样只考虑一个时刻， 是无法谈论物体的运动或静止的。 这个看法跟速度的现代定义是相当接近的。 另外顺便提一下， 英国哲学家伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 在《数学的原理》 (The Principles of Mathematics) 一书中对飞矢悖论也有过剖析， 那就是指出了飞矢在每个时刻都不动无非是一个变量所取的每个数值都是常数这一简单事实的翻版。 用前者否定运动就如同用后者否定变量的取值可变， 是站不住脚的。

虽然同属古希腊的亚里士多德就已对芝诺的悖论做出过相当一针见血的分析或反驳， 但跟那个时代的很多如今看来幼稚的其他学说相比， 芝诺的悖论显然有强得多的生命力， 时至今日仍不仅能将普通人绕进去， 甚至能让哲学家陷入争论。 从数学的角度看， 上面这两种芝诺的悖论实际上是对涉及无穷的种种精微之处的早期困惑。 从这种困惑中， 芝诺还提出过对无穷大的否定， 理由是——据后人记述——“事物必须与自身一样多， 不能更多也不能更少”， 而无穷大不与自身一样多， 因此该被否定。 什么叫做无穷大不与自身一样多？ 一种很可能的猜测是， 芝诺注意到了无穷集合的一个特点， 那就是无穷集合可以与自身的某些真子集一一对应。

从这些方面看， 芝诺可谓是最早对无穷这一概念进行深入思考的古希腊先贤， 芝诺的悖论绝非幼稚之论， 甚至也并非普通的诡辩， 而是一段漫长探索的起点。 为无穷这一概念建立可靠基础， 成了未来数学基础研究的重要组成部分。 德国数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 在与保罗·伯奈斯 (Paul Bernays) 合著的《数学基础》 (Grundlagen der Mathematik) 一书中曾经表示， 从数学上讲， 能否真正解决芝诺的悖论， 关键是能否给出一个关于连续统 (continuum) 的自洽的数学理论， 这就把芝诺的悖论直接拉进了当时正处于热议中的数学基础研究里^[注三]。

最后， 让我们用英国哲学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 的话来为芝诺的悖论 “盖棺论定”。 怀特海曾经表示， 虽然所有人都不认同芝诺的结论， 但 “每个世纪都认为他值得反驳”， 这就非常了不起， 因为 “文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰”。

注释

1. 当然， 这里的 “追随者” 是加引号的， 因为芝诺时代的辩证法跟后世——尤其是德国哲学家 G. W. F. 黑格尔 (G. W. F. Hegel) 之后——的辩证法有不小的差异。
2. 对柏拉图和亚里士多德的转述作一个比较也许是有趣的， 我的个人观感是： 柏拉图的转述采用了他所拿手的对话形式， 但在文字推敲乃至文字游戏的层面上着墨甚多， 给人云山雾罩的感觉， 读那样的对话， 往往觉得除非作者想拉偏架， 否则可以永远谈下去。 相比之下， 亚里士多德的记述更契合主题， 更明晰， 更直截了当， 也更多精辟之见。 难怪美国物理学家温伯格在《解释世界》 (To Explain the World) 一书中曾 “大不敬” 地表示： “亚里士多德不像柏拉图那样有时愚蠢”。
3. 所谓 “连续统”， 指的是实数集， 涵盖了芝诺悖论所涉及的无穷集， 也是数学基础研究的重要对象。

参考文献

1. Aristotle, The Complete Works of Aristotle (Princeton University Press, 1984).
2. Plato, The Dialogues of Plato (Encyclopaedia Britannica Inc., 1994).
3. B. Russell, Wisdom of the West (Crescent Books, 1989).
4. A. Wedberg, A History of Philosophy, vol. 1 (Oxford University Press, 1982).

2018 年  7 月 15 日完稿
2018 年 10 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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