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毕达哥拉斯的数

- 卢昌海 -

毕达哥拉斯 (570 BC - 495 BC)

毕达哥拉斯 (Pythagoras) 是公元前 6 世纪的古希腊先贤。 由于比泰勒斯晚了半个世纪， “第一位哲学家” 和 “科学之父” 的头衔都旁落了， 但在科学史的主线上， 毕达哥拉斯也有自己的 “第一” 或 “最早”。 比如他对乐器结构与音律间的若干关系做出了数学描述， 被认为是以数学形式表述自然律的第一人^[注一]； 亚里士多德则称其为最早推进数学研究的人。 此外， 毕达哥拉斯虽不是 “第一位哲学家”， “哲学” (φιλοσοφία) 一词据说却是他首先使用的。

跟泰勒斯相似， 毕达哥拉斯也不曾留下文字， 我们对他的了解只来自后人的记述。 与泰勒斯不同的是， 毕达哥拉斯有庞大的 “追星族”， 其中核心人物构成了所谓毕达哥拉斯学派 (School of Pythagoras)。 毕达哥拉斯去世后， 学派出现分裂， 部分成员继承了他的科学与数学， 另一部分则沿袭了他的神秘主义， 相互间多有争斗。 除学派成员外， 外围 “爱好者” 们也不甘寂寞， 在长达数世纪的时间里， 冒学派之名出版了不少著作。 这种相互争斗和鱼龙混杂， 加之年代久远， 给后世的毕达哥拉斯研究带来了不小的困扰， 传说中的某些毕达哥拉斯的成就究竟是出自他本人还是学派， 甚至是否真实， 都成了糊涂帐^[注二]。 因此有必要预先说一句， 本文虽在真实性方面有所甄选， 其中的某些 “毕达哥拉斯” 却实为 “毕达哥拉斯学派” 之简称。

有可能是受出现于音律中的整数及整数之比的启发， 毕达哥拉斯对数给予了特殊重视。 视之为主宰宇宙万物的规律， 以及宇宙和谐的根基。 对后世学者如约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler) 等有很大影响的 “天球的音乐” (music of the spheres) 概念亦发端于此^[注三]。 而终极的概括则是所谓 “万物皆数” (all things are number) 的观念。

由于数学在现代科学中的重要作用， 毕达哥拉斯的 “万物皆数” 听起来也许比泰勒斯的 “万物皆水” 来得顺耳。 不过毕达哥拉斯的数跟现代数学中的数是有很大区别的。 首先， 毕达哥拉斯的数乃是整数 (或整数之比)； 其次， 据亚里士多德记述， 毕达哥拉斯视数为 “整个自然的初始之物” (the first things in the whole of nature)， 从而有着近乎物质粒子的实体性。 对此的一个佐证， 是毕达哥拉斯擅用数的排列与堆垒构筑形状——如同用物质粒子构筑物质， 他并且从中发现了一些有关整数的规律， 比如 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 等。 我们如今沿用的某些带几何意象的数的术语， 比如 “平方”、 “立方” 等， 亦是拜其所赐。

不过另一方面， 毕达哥拉斯对数的抽象层面也并非一无所知。 对这一点的佐证， 是毕达哥拉斯率先对纯数学与应用数学作了区分 (这是他对数学的重大影响之一)， 其中纯数学包括算术与几何， 研究心智想象出的东西； 应用数学包括音乐和天文， 研究感官探知到的东西。 由于数是算术的研究对象， 因此这一区分表明毕达哥拉斯将数视为心智想象出的东西， 从而具有抽象性。 综合地看， 毕达哥拉斯的数跟泰勒斯的水那样的 “原始质料” 相比， 抽象度无疑高得多， 甚至可视为数学研究对象抽象化的开端。

后世学者曾对算术、 几何、 音乐、 天文四大领域在毕达哥拉斯学说中的地位作过有趣的概括， 即： 算术是数的本身， 几何是空间中的数， 音乐是时间上的数， 天文是时空里的数。 这种概括很好地体现了 “万物皆数” 的观念。

利用 “万物皆数” 的观念， 毕达哥拉斯展开了自己的推理。 由于将数这样相对抽象的东西视为主宰宇宙万物的规律， 毕达哥拉斯的推理具有不同于以往的特色。

比如毕达哥拉斯视 1、 2、 3、 4 分别代表点、 线、 面、 体， 并对代表体的 4 情有独钟， 视 1、 2、 3、 4 叠合而成的被称为 tetractys (τετρακτύς) 的三角图形为神圣——甚至在起誓时都要以之为名义。 该图形中的 1、 2、 3、 4 相加而得的 10 则被视为完美数 (perfect number)。 在 “万物皆数” 的观念下， 这种数字游戏被赋予了实在性， 比如被视为完美的天球的数目被认为必须等于 10 这个完美数。 不幸的是， 当时 “知道” 的天球只有 9 个， 即地球、 月亮、 太阳、 五大行星 (金星、 水星、 火星、 木星、 土星)， 以及最外层的群星——这里要提醒读者的是， 毕达哥拉斯的宇宙体系并不是地心说， 而是所有天球都绕一个不可见的所谓 “中央火” (central fire) 转动的体系， 因此地球也占一个天球。 完美数是 10， 天球却只有 9 个， 怎么办呢？ 毕达哥拉斯提出存在一个 “反地球” (counter-earth)——不是反物质地球， 而是在 “中央火” 的另一边， 从而看不见的地球。 对毕达哥拉斯的这种推理， 亚里士多德批评道： “他们不是在为现象寻找理论和原因， 而是试图强迫现象满足他们的某些理论和观点”。 不过换一个角度看， 与以往的理论只是单纯解释现象不同， 毕达哥拉斯的这种推理也许是科学史上首次凭借理论作出预言——只可惜这预言是原则上不可观测的， 从而起不到检验理论的作用。

毕达哥拉斯的 “万物皆数” 大体就是如此。 在那个时代， 这种泛泛之论通常是推不翻的 (虽每位哲学家皆可另起炉灶)， 但有意思的是， 毕达哥拉斯的 “万物皆数” 却很快遭到了打击。 更有意思的是， 打击居然来自被毕达哥拉斯划为纯数学的算术与几何的同室操戈， 而且来自毕达哥拉斯的另一项著名贡献： 毕达哥拉斯定理 (Pythagorean theorem)。

毕达哥拉斯本人对毕达哥拉斯定理究竟有过何种贡献， 其实很难确定。 可以确定的倒是， 毕达哥拉斯定理不是毕达哥拉斯首先提出的。 据目前的考证， 早在公元前 16-19 世纪——即比毕达哥拉斯早了千年以上——的所谓第一巴比伦王朝 (First Babylonian Dynasty) 期间， 人们就不仅知道了 (3, 4, 5)、 (5, 12, 13) 之类满足 a² + b² = c² 的所谓毕达哥拉斯三元组 (Pythagorean Triple)， 而且还用了 a² + b² = c² 来计算矩形对角线的长度， 显示出对普遍而非特例下的毕达哥拉斯定理的知晓。 不过毕达哥拉斯的 “冠名” 倒也不是纯属乌龙， 也许可以这么说， 在科学史的主线上， 毕达哥拉斯是使毕达哥拉斯定理传播并影响后世的核心人物。

由毕达哥拉斯定理立刻可以得出， 一个边长为 1 的正方形的对角线长度为 √2。 另一方面， 读者们在小学时也许就已证明过， √2 是所谓无理数， 即并非整数或整数之比。 这一点对毕达哥拉斯的 “万物皆数” 构成了打击——因后者是建立在整数 (或整数之比) 的基础上的。 发现这一点的据说是公元前 5 世纪的毕达哥拉斯学派成员希帕索斯 (Hippasus)——但无确切证据。 另外据说发现者——无论是不是希帕索斯——被毕达哥拉斯的信徒扔进了海里， 或被逐出了学派——也无确切证据。 不仅如此， 就连 √2 是不是最早被证明的无理数也有一定争议。 有学者认为， 最早被证明的无理数有可能是正五边形的边与对角线之比， 理由是： 正五边形是毕达哥拉斯学派所熟悉的图形 (其对角线组成的正五角星被认为代表 “健康”——神秘主义之一例)， 且它的边与对角线之比可用当时更流行的纯几何手段证明为无理数， 而无需像证明 √2 为无理数那样通常用到奇数与偶数的性质。 此外， 那两个线段之比为黄金分割 (golden ratio)， 是公元前 5 世纪就已被发现的 (虽当时未用那样的名称)， 时间上也跟传说中无理数的发现相一致。

无理数的发现细想起来颇堪玩味， 因为那实际上是用几何手段推翻了 “万物皆数”。 尽管发现者被扔进大海云云有可能只是传闻， 但无理数的发现当时就对 “万物皆数” 构成打击是被公认的。 在那个并无先验理由认定几何比算术可靠的年代， 能承认无理数的发现打击了 “万物皆数”， 似乎意味着毕达哥拉斯虽主张 “万物皆数”， 实际上对几何的认同度不在算术之下——因为否则的话， 完全可以用 “万物皆数” 来反过来否定毕达哥拉斯定理 (这种为维护错误信念而否定其他东西的做法在古代科学史上是不鲜见的， 比如亚里士多德就曾为维护自己的重物下落理论而否定真空)。 毕达哥拉斯没有那样做， 在无形中提升了几何的地位， 毕达哥拉斯之后的柏拉图和欧几里得在这点上跟毕达哥拉斯一脉相承， 被认为是在一定程度上受了后者影响^[注四]。

英国哲学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 曾经说过， 整个欧洲哲学传统实质上是对柏拉图的 “一系列脚注”， “毕达哥拉斯是幸运的， 他的哲学学说通过柏拉图的头脑传到了我们”^[注五]。 另一方面， 以对科学的影响而论， 欧几里得是比柏拉图更重要的人物， 是古希腊几何的集大成者， 被尊为 “几何之父” (Father of Geometry)。 对柏拉图和欧几里得的影响大大增强了毕达哥拉斯在科学史上的重要性， 就连对他很有些不以为然的英国哲学家伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 也承认， 以思想而论， 无论在他明智还是不明智时 (后者主要指他的神秘主义)， 毕达哥拉斯都是 “有史以来最重要的人物之一”。

注释

1. 细心的读者也许注意到了 “科学史的主线” 这一限定。 之所以作此限定， 是因为在从古希腊到现代科学这条 “科学史的主线” 之外， 人类文明史上——尤其是早期——还有许多零星、 孤立、 昙花一现或后继乏力的成就。 那些成就单以年代而论， 足可挑战很多 “第一” 或 “最早” (后文会举出例子)。
2. 比如有关毕达哥拉斯研究音律的若干传说就被认为很可能只是 “八卦”， 因所涉及的观察在物理上应得不出所记述的结论——但也不能完全排除， 因为不精确的观察证实先入为主的结论也不无可能。
3. “天球的音乐” 为何从未被人听见过？ 据说毕达哥拉斯的解释是： 有声须相对于无声才能被感知， “天球的音乐” 因是永恒的存在， 没有与之映衬的无声， 故无法被感知。 这种解释也许是拙劣的， 但视角不无新颖性， 与狄拉克海 (Dirac sea) 有些异曲同工。
4. 当然， 坚持算术的地位高于几何者亦不乏其人， 比如亚里士多德。 待到后来， 非欧几何的发现动摇了欧氏几何的地位后， 算术的 “翻盘” 更为明显。 关于某些数学家对算术地位的推崇， 可参阅拙作 “弗雷格的算术”。 另外， 这里要再次强调， 本文中的某些 “毕达哥拉斯” 实为 “毕达哥拉斯学派” 之简称——此处尤其如此， 因发现无理数的并非毕达哥拉斯本人。
5. 有必要指出的是， 在柏拉图的皇皇巨著中， 毕达哥拉斯其实只被提及了寥寥数次。 不过很多研究者认为， 毕达哥拉斯对柏拉图的影响已渗透在后者的思想里， 达到了水乳交融、 难以分割的程度。 就连著名的柏拉图正多面体 (Plato solid)， 也有学者认为应部分归功于毕达哥拉斯。

参考文献

1. Aristotle, The Complete Works of Aristotle (Princeton University Press, 1984).
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7. G. S. Kirk, The PreSocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts (Cambridge University Press, 1957).
8. G. E. R. Lloyd, Early Greek Science: Thales to Aristotle (W. W. Norton & Company, 1970).
9. C. Riedweg, Pythagoras: His Life, Teaching, and Influence (Cornell University Press, 2005).

2018 年  6 月 02 日完稿
2018 年  8 月 30 日发布
https://www.changhai.org/

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