质量的起源 (二)

- 卢昌海 -

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五. 量子电动力学

经典电子论的没落是物理学史上最富宿命色彩的事件。 这一宿命的由来是因为电子发现得太晚， 而量子理论又出现得太早， 这就注定了夹在其间， 因 “电子” 而始、 逢 “量子” 而终的经典电子论只能有一个昙花一现的命运^[注一]。 为它陪葬而终还有建立在经典电动力学基础上的整个电磁观。

量子理论对经典物理学的冲击是全方位的， 足可写成一部壮丽的史诗。 就经典电子论中有关电子结构的部分而言， 对这种冲击最简单的描述来自于测不准原理。 如我们在 上一节 中看到的， 经典电子论给出的电子质量 - 除去一个与电荷分布有关的数量级为 1 的因子 - 约为 e²/Rc²。 由此可以很容易地估算出 R~10^-15 米 (感兴趣的读者请自行验证一下)。 这一数值被称为电子的经典半径。 但是从测不准原理的角度看， 对电子空间定位的精度只能达到电子的 Compton 波长 h/mc~R/α~10^-12 米的量级 (其中 α≈1/137 为精细结构常数)， 把电子视为经典电荷分布的做法只有在空间尺度远大于这一量级的情形下才适用。 由于电子的经典半径远远小于这一尺度， 这表明经典电子论并不适用于描述电子的结构。 建立在经典电子论基础上的电子质量计算也因此而失去了理论基础^[注二]。

但是经典电子论对电子质量的计算虽然随着量子理论的出现而丧失了理论基础， 那种计算所体现的自相互作用对电子质量产生贡献的思想却是合理的， 并在量子理论中得到了保留。 这种贡献被称为电子自能。 在量子理论基础上对电子自能的计算最早是由 I. Waller 于 1930 年在单电子 Dirac 理论的基础上给出的， 结果随虚光子动量的平方而发散。 1934 年 V. Weisskopf (1908-2002) 计算了 Dirac 空穴理论 (hole theory) 下的电子自能， 结果发现其发散速度比 Waller 给出的慢得多， 只随虚光子动量的对数而发散^[注三]。 撇开当时那些计算所具有的诸多缺陷不论， Weisskopf 的这一结果在定性上与现代量子场论一致。

最简单的电子自能图

按照现代量子场论， 相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献的单粒子不可约图 (one-particle irreducible diagrams) 来描述， 其中主要部分来自于由量子电动力学 (QED) 所描述的电磁自能， 而电磁自能中最简单的贡献则来自于右图所示的单圈图。 幸运的是， 由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所及的能区都很小， 因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占主要部分^[注四]。

对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍， 其结果为 δm~αmln(Λ/m)， 其中 m 为出现在量子电动力学 Lagrangian 中的电子质量参数， 被称为裸质量， Λ 为虚光子动量的 cut-off。 如果我们把量子电动力学的适用范围无限外推， 允许虚光子具有任意大的动量， 则 δm 将趋于无穷， 这便是自二十世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难的一个例子。

量子场论中的发散困难， 究其根本是由所谓的点粒子模型引起的。 这种发散具有相当的普遍性， 不单单出现在量子场论中。 将经典电子论运用于点电子模型同样会出现发散， 这一点从经典电子质量公式 m~e²/Rc² 中可以清楚地看到： 当电子半径 R 趋于零时质量 m 趋于无穷。 经典电子论通过引进电子的有限半径 (从而放弃点粒子模型) 免除了这一发散， 但伴随而来的 Poincaré 张力、 电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子所应有的简单性^[注五]。 这种简单性虽然没有先验的理由， 但毫无疑问是人们引进基本粒子这一概念时怀有的一种美学上的期待， 正如 Dirac 所说： “电子太简单， 支配其结构的定律根本不应该成为问题”。 经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其它方面都成功了， 其意义也将由于引进电子半径这一额外参数及 Poincaré 张力、 电荷分布等额外假设而大为失色。 从这一角度上讲， 量子电动力学在概念约化上比经典电子论显得更为彻底， 因为在量子电动力学的 Lagrangian 中不含任何与基本粒子结构有关的几何参数。 基本粒子在量子场论中是以点粒子的形式出现的， 虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构， 但所有那些结构都是作为理论的结果而不是如经典电子论中那样作为额外假设而出现的， 这是除与狭义相对论及量子理论同时兼容， 与实验高度相符之外， 建立在点粒子模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方。

至于由此产生的发散困难， 在二十世纪七十年代之后得到了较为系统的解决， 有关这一解决方法 - 被称为重整化方法 - 的详细介绍， 我将在今后另文叙述。 不过尽管重整化方法无论在数学计算还是物理意义的理解上都已相当成熟， 但发散结果的存在基本上消除了传统量子场论成为所谓 “终极理论” (Theory of Everything) 的可能性， 这是后话。

六. 质量电磁起源的破灭

既然量子电动力学与经典电子论一样具有电子自能， 那么它能否代替经典电子论实现后者没能实现的把质量完全约化为电磁概念的梦想呢？ 答案是否定的。

这可以从两方面看出。 首先从 δm~αmln(Λ/m) 中的 αln(Λ/m) 部分可以看到， 由于 α≈1/137 是一个很小的数目， 而 ln(Λ/m) 又是一个增长极其缓慢的函数， 因此对于任何 Planck 能标以下的 cut-off， 由电磁自能产生的质量修正与所谓的裸质量 m 相比都只占一个很小的比例^[注六]。

另一方面， 即使我们一厢情愿地把量子电动力学的适用范围延伸到比 Planck 能标还高得多的能区， 从而使 δm 变得很大， 把质量完全约化为电磁概念的梦想依然无法实现。 因为电子的电磁自能还有一个要命的特点， 那就是 δm∝m。 这表明， 无论把 cut-off 取得多大， 如果裸质量为零， 电子的电磁自能也将为零。 而裸质量是量子电动力学 Lagrangian 中的参数， 在量子电动力学的范围之内是无法约化的。

有的读者可能会问： 电磁自能既然是由电磁相互作用引起的， 理应只与电荷有关， 为什么却会正比于裸质量呢？ 这其中的奥妙在于对称性。 量子电动力学的 Lagrangian：

L = -(1/4)F^μνF_μν + ψ(iγ^μ∂_μ-m)ψ -eψγ^μA_μψ

在 m=0 的时候具有一种额外的对称性， 即在 ψ→e^iαγ5ψ 下不变 (请有兴趣的读者自行证明)。 这种对称性被称为手征对称性 (chiral symmetry)， 它表明在 m=0 的情形下电子的左右手征态：

ψ_L = (1-γ⁵)/2 ψ,    ψ_R = (1+γ⁵)/2 ψ

不会互相耦合。 另一方面， (读者可以很容易地证明) 电子的质量项

mψψ = mψ_Lψ_R + mψ_Rψ_L

却是一个电子左右手征态相互耦合， 从而破坏手征对称性的项。 这样的项在电子的裸质量不存在 - 从而量子电动力学的 Lagrangian 具有手征对称性 - 的情况下将被手征对称性所禁止， 不可能出现在任何微扰修正中。 因此 δm∝mln(Λ/m) 这一结果的出现是很自然的^[注七]。

至此我们看到， 试图把质量完全归因于电磁相互作用的想法在量子场论中彻底地破灭了。 电磁质量即使在象电子这样质量最小 - 从某种意义上讲也最为纯粹 - 的带电粒子的质量中也只占一个不大的比例， 在其它粒子 - 尤其是那些不带电荷的基本粒子 - 中就更甭提了。

很显然， 质量的主要来源必须到别处去寻找。

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注释

1. 当然这样的说法对历史作了相当大的简化， 确切地讲经典电子论的出现实际上略早于电子的发现， 而类似于经典电子论的电子结构研究在量子理论之后仍然有一些物理学家在做， 比较著名的有 Dirac， Wheeler 及 Feynman (不过这些研究已不能完全归于经典电子论的范畴)。 另一方面， 经典电子论所包含的电子结构以外的东西， 比如从物质的微观电结构出发研究宏观电磁及光学现象的方法直到今天还可以在一些电磁学教材中找到踪迹。 但是经典电子论随着量子理论的兴盛而没落的大趋势是显而易见的。
2. 经典电子论对电子的描述不仅与量子力学不符， 在电子自旋发现之后， 试图在经典电子模型中加入电子自旋的努力与狭义相对论也产生了矛盾， 可谓腹背受敌。
3. Weisskopf 的计算中包含了一个符号错误， 但很快被 W. H. Furry 和 F. J. Carlson 所纠正。
4. 量子场论的微扰展开式有许多微妙的地方。 以量子电动力学为例， 尽管其耦合常数 α 很小， 从而 n 圈图的贡献受到 αⁿ 的抑制， 但另一方面， 随着圈数的增加， 不等价 n 圈图的数目也在增加， 其趋势约为 n! (这是非常粗略的说法， 圈图的确切数目与相互作用的具体形式有关， 且其中还有符号问题， 综合的结果非常复杂)。 当 n~1/α 时圈图数量的增加将抵消由弱耦合所带来的减弱因子 αⁿ 的影响， 因此量子电动力学的微扰展开式并不收敛， 这一点最早是由 F. Dyson (1923-) 于 1951 年给出的 (不过 Dyson 的论述方法与上面不同， 感兴趣的读者可以参阅本文末尾的 附录)。 有鉴于此， 所谓单圈图的贡献占主要部分其实是从渐近级数的意义上说的。
5. 顺便提一下， Poincaré 张力带来的困难除了我们在 第四节 中提到的非电磁起源外， 还有一个更严重的， 那就是由 Poincaré 张力所维持的电子结构虽然具有静态平衡， 却是不稳定的， 类似于 Einstein 的静态宇宙模型。 这是 1922 年由 E. Fermi (1901-1954) 所证明的。
6. 当我们谈到 cut-off 的时候， 比如在本文中或者在 “宇宙学常数、 超对称及膜宇宙论” 的 第四节 中讨论零点能时， 有一点需要提醒读者注意。 那就是对于象电子自能或宇宙学常数这样对 cut-off 的数值相对敏感的物理量， 只计算 cut-off 以下的贡献显然是不完整的， 那么来自 cut-off 以上的贡献有多少呢？ 答案是与在 cut-off 以上仍然适用的理论的具体形式有关。 如果那个理论仍有 cut-off， 我们还必须关心来自新的 cut-off 以上的贡献有多少 。。。 物理学家们的期望是， 我们最终将会有一个有限的理论， 那时我们就不需要用 cut-off 来遮遮掩掩了。
7. 这从简单的量纲分析就可以看出： δm 的形式为 mf(Λ/m)， 而从 Feynman 图所对应的积分的形式可知其相对于 Λ 的渐近形式 f(x) 只能是对数或正负整数幂函数， 这其中只有 f(x)=ln(x) 可以使 δm 既在 Λ→∞ 时发散， 又在 m→0 时为零。

二零零五年四月十六日写于纽约
http://www.changhai.org/

附录： 关于 Dyson 对 QED 微扰展开式收敛性的论证

Dyson 是在证明了 QED 可重整后想要证明其展开级数收敛的， 因为这两者结合起来， QED 的微扰理论就完整了。

我不记得 Dyson 文章的出处了， 不过他的证明十分简单 (被称为 heuristic proof - 即不算严格的证明)， 可以在这里简述一下： 如果 QED 的微扰级数对于耦合常数 e²>0 的某个数值收敛， 那它也必定在复平面上以 e²=0 为圆心的某个圆内收敛， 其中包含实轴上 e²<0 的某个区域。 但这是不可能的， 因为在物理上可以证明， 倘若 e²<0， 电磁系统不可能存在稳定的真空态， 由大量正电荷与负电荷分别聚集所形成的态具有比真空更低的能量， 这种态对应于微扰级数中的高阶项， 这说明微扰级数中的高阶项会变得越来越重要， 这种级数至多是一个渐进级数。

Dyson 的证明很难说是否得到公认， 他的推理是比较粗糙的， 后人所接受的应该是把他和其他人的工作合并起来的结果。

对于 Dyson 的证明， 我的感觉是： 对一般的级数而言， 在大于零的某点的邻域内解析， 的确不一定意味着在零的邻域内解析。 不过微扰级数在 e²=0 点是收敛的 (因为那是自由场情形)， 因此假如它对某个 e²>0 收敛， 说明它在 e²=0 的收敛半径大于零。 这个我觉得是可以的。 在后半部分中 Dyson 并没有假定 e²<0 的世界具有与我们世界同样的真空， 他只是以我们世界的真空做参照来证明在 e²<0 的世界中没有稳定的真空态。

我对 Dyson 证明的疑问， 是我觉得他其实只是证明了： 如果微扰级数收敛的话， 它的收敛域包含了得到该级数所依据的物理模型本身无法涵盖的区域。 但这似乎没什么不可以的， 谈不上矛盾， 也未必可以反证出微扰级数不收敛的结论。 因此我觉得其他人的证明很值得一看。

二零零四年三月三十一日写于纽约
http://www.changhai.org/