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本文 (与 上篇 一起) 曾发表于《三思科学杂志》2004 年春季合刊 (二零零四年六月一日出版)。 |
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火箭: 宇航时代的开拓者 (下) - 星际旅行漫谈 • 火箭 -
四. 接近光速 前面说过， 这个星际旅行系列主要是为了讨论未来的星际旅行技术而写的， 因此在这里我们也要把目光放远些， 看看上节讨论的火箭动力学在火箭速度持续提高， 乃至接近光速时会如何。 到目前为止人类发射的航天器中飞得最远的已经飞到了冥王星轨道之外。 冥王星自 1930 年被发现以来， 就一直是太阳系中已知的离太阳最远的行星。 在那之外是一片冰冷广袤的空间。 人类要想走得更远， 必须要有更快的航天器。 在齐奥尔科夫斯基公式中火箭的速度是没有上限的， 通过提高喷射物的喷射速度， 通过增加火箭质量中喷射物所占的比例， 火箭在原则上可以达到任意高的速度。 这一点显然是错误的， 因为物体的运动速度不可能超过光速， 这是相对论的要求[注一]。 因此当火箭运动速度接近光速时， 齐奥尔科夫斯基公式不再成立。 那么有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式， 在火箭运动速度接近光速时仍成立呢？ 这就是本节所要讨论的问题。 首先， 简单的答案是： 这样的公式是存在的。 事实上， 这样的公式不仅存在， 而且并不复杂， 因此我们干脆在这里把它推导出来， 以满足大家的好奇心。 这一推导所依据的基本原理仍然是动量守恒定律， 我们也仍然在火箭参照系中计算火箭速度的增量。 这里要说明的是， 所谓火箭参照系， 指的是所考虑的瞬间与火箭具有同样运动速度的惯性参照系 (因此在不同的时刻， 火箭参照系是不同的)。 我们用带撇的符号表示火箭参照系中的物理量 (这是讨论相对论问题的惯例)。 与上一节的讨论相仿， 假设火箭单位时间内喷射的物质质量为 -dm'/dt' (m' 为火箭质量， dm'/dt'<0)， 喷射物相对于火箭的速度大小为 u (方向与火箭飞行方向相反)， 则在一个时间间隔 dt' 内， 火箭的速度会因为喷射而得到一个增量 dv'。 依据动量守恒定律， 在火箭参照系中我们得到： m'dv' = -udm' 这里 dm' 为喷射物的相对论质量 (运动质量)， 这一公式对于 u 接近甚至等于光速的情形也成立[注二]。 在非相对论的情形下， 上面所有带撇的物理量都等于静止参照系 (地心参照系) 中的物理量， 因此对上述公式可以直接积分， 这种积分的含义是对上式中的速度增量进行累加。 但在相对论中， 速度合成的规律是非线性的， 把这些在不同时刻 - 因而在不同参照系中 - 计算出的速度增量直接相加是没有意义的， 因此上述速度增量必须先换算到静止参照系中才能积分。 运用相对论的速度合成公式， dv' 所对应的静止系中的速度增量为： dv = (dv' + v)/(1 + vdv'/c2) - v = (1 - v2/c2)dv' 将这一结果与在火箭参照系中所得的关于 dv' 的公式联立可得： dv / (1 - v2/c2) = -u dm'/m' 对这一公式积分， 并进行简单处理， 便得： v = c tanh[(u/c) ln(mi/mf)] 其中 mi 与 mf 是在火箭参照系中测量的。 这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。 对于低速运动的火箭， (u/c) ln(mi/mf) << 1， 因而 tanh[(u/c) ln(mi/mf)]≈(u/c) ln(mi/mf)， 上述公式退化为齐奥尔科夫斯基公式。 由于对于任意 x， tanh(x) < 1， 因此由上述公式给出的速度在任何情况下都不会超过光速。 上述公式的一个特例是 u=c 的情形， 即喷射物为光子 (或其它无质量粒子) 的情形。 这种火箭常常出现在科幻小说中， 通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。 对于这种情形， 上述公式简化为： v = c(mi2 - mf2)/(mi2 + mf2)。 如果将火箭 90% 的质量转化为能量作为动力， 火箭的飞行速度可以达到光速的 99%。 五. 飞向深空 宇宙的浩瀚是星际旅行家们面临的最基本的事实。 即使能够达到接近光速的速度， 飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。 从太阳系出发， 到银河系中心大约要飞 3 万年， 到仙女座星云 (M31 - 河外星系) 大约要飞 220 万年， 到室女座星系团 (Virgo - 河外星系团) 大约要飞 6000 万年 ... ... 相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说这些时间显然是太漫长了。 但是且慢悲观， 因为我们还有一个因素可以依赖， 那就是相对论的时钟延缓效应。 在相对论中运动参照系中的时间流逝由所谓的 “本征时间” 来表示， 它与静止参照系中的时间之间的关系为： τ = ∫ (1 - v2/c2)1/2 dt 把这个公式用到火箭参照系中， τ 就是宇航员所感受到的时间流逝。 很显然， 火箭的速度越接近光速， 宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。 考虑到这个因素， 宇航员是不是有可能在自己的有生之年到银河系中心、 仙女座星云、 甚至室女座星系团去旅行呢？ 下面我们就来计算一下。 我们考虑一个非常简单的情形， 即火箭始终处于匀加速过程中。 当然这个匀加速度是在火箭参照系中测量的。 为了让宇航员有宾至如归的感觉， 我们把加速度选为与地球表面的重力加速度一样， 即 g。 用数学语言表示： d2x'/dt'2 = g 把这一加速度变换到静止参照系 (地心参照系) 中可得： d2x/dt2 = (1 - v2/c2)3/2g 由此积分可得： x = (c2/g) [(1 + g2t2/c2)1/2 - 1] 只要加速的时间足够长 (gt>>c)， 上式可以近似为 x≈ct。 这表明在地心参照系中， 经过长时间加速后飞船基本上是以光速飞行的。 但是我们感兴趣的是宇航员所经历的时间， 即 “本征时间” τ， 这是很容易利用上式 - 即 τ 的定义 - 计算出的， 结果为： τ = (c/g) sinh-1(gt/c) 我们可以从 τ 和 x 的表达式中消去 t， 由此得到： τ = (c/g) sinh-1{[(1 + gx/c2)2 - 1]1/2} 如果 x<<c2/g≈1 光年， 即飞行距离远小于一光年， 上式可以近似为： τ≈(2x/g)1/2， 这正是我们熟悉的非相对论匀加速运动的公式。 如果 x>>c2/g≈1 光年， 即飞行距离远大于一光年， 上式可以近似为： τ≈(c/g) ln(2gx/c2)， 下面我们只考虑这种情形。 考虑到到达一个目的地通常还需要考察研究、 拍照留念， 因此火箭不能一味加速， 而必须在航程的后半段进行减速， 从而旅行所需的时间应当修正为： τ ≈ (2c/g) ln(gx/c2) ~ (2 年) ln(x/光年) 倘若旅行的目的地是银河系的中心， x=30000 光年， 由上式可得 τ~ 20 年。 这就是说， 在宇航员看来， 仅仅 20 年的时间， 他就可以到达银河系的中心， 即使考虑到返航的时间， 前后也只要 40 年的时间， 他就可以衣锦还乡了。 这就是相对论的奇妙结论！ 只不过， 当他回到地球时， 地球上的日历已经翻过了整整 6 万年， 他的孙子的孙子的孙子 ... ... (如果有的话) 都早已长眠于地下、 墓草久宿了。 运用同样的公式， 我们可以计算出到达仙女座星云所需的时间约为 29 年； 到达室女座星系团所需的时间约为 36 年； ... ... (在这里读者们对于对数函数增长之缓慢大概会有一个深刻的印象吧)。 倘若一个宇航员 20 岁时坐上火箭出发， 如果他可以活到 80 岁， 那么在他的有生之年 (不考虑返航 - 壮士一去兮不复返)， 他可以到达 10000000000000 (十万亿) 光年远的地方。 这个距离已经远远远远地超过了可观测宇宙的线度， 因此这样的一位宇航员在有生之年可以到达宇宙中任意远的地方！ 这样看来， 星际旅行似乎并不象人们渲染的那样困难。 如果是那样， 我们也就不必费心讨论什么 Wormhole 和 Transporter 了， 直接坐上火箭遨游太空就是了。 事情当然不会如此简单， 别忘了在我们的计算中火箭是一直在加速的 (否则的话， 那个帮了我们大忙的对数函数就会消失)， 这样的火箭耗费的能量是惊人的 (究竟要耗费多少能量呢？ 运用本文给出的结果， 读者可以自己试着计算一下)。 不过这种能量耗费所带来的工程学上的困难比起建造 Wormhole 所面临的困难来终究还是要小得多。 因此运用这样的火箭探索深空也许真的会成为未来星际旅行家们的选择。 唯一的遗憾是， 他们只要走得稍远一点， 我们就没法分享他们的旅行见闻了。 因为相对论只保佑他们， 不保佑我们。 注释
二零零三年十月十四日写于纽约 补注
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