星空浩淼
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切空间上的线性泛函与semi的问题
（semi的问题，即dx^i (d/dx^j)＝δ_ij是怎么来的，或许是不少自学中人曾经有过的困惑，因此在这里再班门弄斧一回，不准确之处，请这里的嘉宾们纠正。）
下面用d/dx^i表示对x^i的偏微分，而dx^j表示x^j的微分。用<v,w>表示一对对偶矢量v和w之间的内积（它们分别属于两个对偶的空间）。对于任一给定的v，又可以记
v(w)=<v,w>
此时，称v(w)为关于w的泛函。
我们知道，度规张量g_ij定义为坐标基矢之间的内积。当某流形上的切空间由{d/dx^i, i= 1, 2, 3..., n)}作为坐标基，余切空间由{dx^j, j= 1, 2, 3..., n)}作为坐标基时，我们有：
g_ij＝<d/dx^i, d/dx^j> (协变分量)
g^ij＝<dx^i, dx^j> (逆变分量)
g^i_j＝δ_ij=<dx^i, d/dx^j> (混合分量）
其中δ_ij是Dirac delta函数。对于四维闽可夫斯基时空，i,j=0,1,2,3，此时有
g_ij＝g^ij＝－δ_ij， 当i,j=1,2,3
g_00＝g^00＝1
其它分量为零。
因此，我们有，例如：
d/dx^i (d/dx^j)=<d/dx^i, d/dx^j>=－δ_ij， 当i,j=1,2,3
dx^i (dx^j)=<dx^i, dx^j>=－δ_ij， 当i,j=1,2,3
d/dx^0 (d/dx^0)=dx^0( dx^0)
=<d/dx^0, d/dx^0>=<dx^0, dx^0>=1
同时由g^i_j＝δ_ij=<dx^i, d/dx^j>，还有
dx^i (d/dx^j)＝<dx^i, d/dx^j>≡dx^i/dx^j＝δ_ij （1）
根据以上所述，dx^i (d/dx^j)在这里表示关于d/dx^j的泛函，对应两个对偶基矢dx^i 和d/dx^j之间所定义的内积，不能理解成对d/dx^j求微分，也不能理解成对dx^i 求关于x^j的偏微分——这种误解，正是不少人在此处感到困惑的原因。事实上，上面公式（1）是下面定义公式（3）的一个特例。
一般地，设M^n是n维切空间，于是其中的矢量表达成（重复指标求和）：
v=v^i d/dx^i, 其中v^i 是矢量v的坐标分量。
f的微分df被定义为切空间上的泛函：
df(v)=<df, v>=v^i <df, d/dx^i>=v^i df/dx^i （2）
由（2）知： <df, d/dx^i>≡ df/dx^i （3）
（这里的微分df，对于一般基矢v^i，类似于沿矢量v的方向导数；如果v^i＝dx^i，则对应通常的微分）
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| 发表时间：2006-08-07, 08:58:59 |
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萍踪浪迹
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
：：对于四维闽可夫斯基时空，i,j=0,1,2,3，此时有
g_ij＝g^ij＝－δ_ij， 当i,j=1,2,3
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取的号差是（-1，-1，-1，1），所以对于i,j=1,2,3，有负号在前
如果号差（1，1，1，-1），则没有负号
另外，余矢量本身就是线性泛函，与切向量对偶，因此，两者在这方面是完全平等的
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| 发表时间：2006-08-07, 12:35:35 |
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星空浩淼
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
补充一下：
g_ij＝<d/dx^i, d/dx^j>≡dx_i/dx^j (协变分量)
g^ij＝<dx^i, dx^j>≡dx^i/dx_j (逆变分量)
回萍踪兄：
时空号差的选取，是（1，-1，-1，－1）还是（－1，1，1，1），这是人为的，不会带来本质差异。上面选取前者，如果是后者，则虽然g_ij＝g^ij没有负号，g_00＝g^00此时却由原来的1变成－1
关于线性泛函，假定|w>表示切矢量，<v|表示余切矢量，我建议把它们之间的内积（对于给定的v)
v(w)=<v|w> （1）
看作关于w的线性泛函，而不是直接把余切矢量<v|看作线性泛函，这样更稳妥些，不会产生一些混乱。
尽管不少教材上有时候把对偶矢量直接叫成是关于矢量的线性泛函，但泛函的实际含义总是根据公式（1）来定义的。
在量子力学中，张成Hilbert空间的标架的，是Dirac符号表达的态矢，例如 |w>，<v|，而v(w)=<v|w> 却是在v-表象下的波函数，即波函数是Hilbert空间中的泛函，而象|w>，<v|这些，属于Hilbert空间中的矢量。显然，在这里，“矢量”与“泛函”是两个概念。
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| 发表时间：2006-08-08, 05:28:12 |
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semi
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
谢星空兄的详细解答,原来这里面还需泛函的概念,看来这方面我还得充电才能理解清楚.
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-08-08, 11:17:41 |
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青青子衿
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
这可不能叫泛函分析
只是线性代数罢了
| 发表时间：2006-08-09, 05:48:26 |
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gage
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
这可不能叫泛函分析
只是线性代数罢了
==============
确实一般只有无限维的才叫泛函，有限维叫做线性函数。另一个不恰当的名词，不少泛函分析的书把闭的线性子空间叫做线性子流形。我一听说线性子流形就头大无比，简简单单的一个对象非要娶个唬人的名字，何苦呢。
多普勒：你们都是红眼病。
拉马克：多发帖就能够提高灌水技术，这是可以遗传的。
| 发表时间：2006-08-10, 01:53:49 |
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西门吹牛
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
我一听说线性子流形就头大无比，简简单单的一个对象非要娶个唬人的名字，何苦呢。
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同感！
这世界上，有的学者风格，是把复杂问题弄简单；而有些学者风格，是把简单问题复杂化。
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2006-08-10, 01:59:37 |
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那一剑的寂寞
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
确实一般只有无限维的才叫泛函，有限维叫做线性函数。另一个不恰当的名词，不少泛函分析的书把闭的线性子空间叫做线性子流形。我一听说线性子流形就头大无比，简简单单的一个对象非要娶个唬人的名字，何苦呢。
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gage说得好，我最讨厌看这类书了，Van.de Warerden的那本代数学就险些把我给淹死了，我们的前辈数学家们仿佛比较热衷于搞一些高深概念，特别是武汉大学编的一些书比较变态。
如果一本微分拓扑，在一开始就告诉你，这个理论不过就是玩微积分加线性代数，那还谁去怕它呢，可是事实往往惨不忍读。
| 发表时间：2006-08-10, 07:57:13 |
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萍踪浪迹
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Re: 切空间上的线性泛函与semi的问题
：：如果一本微分拓扑，在一开始就告诉你，这个理论不过就是玩微积分加线性代数，那还谁去怕它呢，可是事实往往惨不忍读。
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可是事实上微分拓扑根本不是微积分加线性代数，想这么说也不成啊兄弟
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| 发表时间：2006-08-10, 10:33:18 |
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