gage
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联络的挠率
我们引用伍鸿熙等人所著《黎曼几何初步》一书第14页的一段话：
令T(X,Y)=D_XY-D_YX-[X,Y],
易证T(X,Y)关于X,Y是C^\infty(M)线性的，从而T是一个张量，称为挠率张量。这是(L2)就相当于挠率张量为零，这就解释了把(L2)称为无挠的原因。这里，我们必须承认似乎没有任何一点小的理由将T称为“挠”率张量。完全不像与T的构造类似的曲率张量，挠率张量是没有几何意义的，它在引出的同时就被束之高阁了。
说明：其中(L2)是指的在Levi-Civita联络的定义中需要的两个条件中的第二个，就是Levi-Civita联络是无挠的。
关于伍鸿熙，加州Berkley数学系教授，研究方向为微分几何，曾与Sachs合著《General relativity for mathematician》,为GTM丛书（研究生数学丛书）第48号。
我个人认为这是对挠率的一个中肯的评价，挠率确实没什么用，有这个挠率只能使得事情更加麻烦。关键是挠率没有几何意义。
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gage
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Re: 联络的挠率
感觉在广义相对论的 Einstein-Cartan 理论中将挠率引入，这个理论的名字有点拉虎皮的意思。也许这和 Cartan 压根就没什么关系，当然我不确定到底 Cartan 是否研究过这个。
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卢昌海
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Re: 联络的挠率
I'm not an expert on this topic. But let me quote a few words as well:
"Torsion bears to translations a relation similar to that of curvature to linear homogeneous transformations" (A. Trautman "The Einstein-Cartan Theory")
"In order to accommodate spinor fields, all of the constructions of Riemannian and Riemann-Cartan geometry can be generalized from orthogonal groups, principal orthogonal frame bundles and associated tangent bundles to spin groups, principal spin bundles and associated spinor bundles. A spacetime manifold admits a spin bundle over its principal frame bundle only if the second Stiefel-Whitney class of M is zero. The Riemann tensor is the curvature form for (generalized to include boosts) rotations (i.e. the spin(p,q) part) while torsion is the curvature form for translations (R^4.)" (Einstein-Cartan theory, wikipedia)
The above quotes are closely related to one of the motivation of Einstein-Cartan theory, namely to generalize the structure group of tangent space from Lorentz group (as in GR) to Poincare group (as in Einstein-Cartan theory). Whether Einstein-Cartan theory has any physical significance is highly questionable. But it seems hard to deny from those descriptions that torsion has clear geometric meaning.
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卢昌海
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Re: 联络的挠率
:: 感觉在广义相对论的 Einstein-Cartan 理论中将挠率引入，这个理论的
:: 名字有点拉虎皮的意思。也许这和 Cartan 压根就没什么关系，当然我不
:: 确定到底 Cartan 是否研究过这个。
It is Elie Cartan himself who first proposed the theory in 1922 (before the discovery of quantum spin). And I heard one of his motivation is what I mentioned in the last paragraph of the previous post (although I can't confirm that, but it is no doubt that Elie Cartan himself worked on it, not someone who merely borrowed his name).
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星空浩淼
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Re: 联络的挠率
在我的印象中，对于一根曲线而言，挠率和曲率一样，有着非常明确的几何意义和直观解释图象，曲线的挠率和曲率，只有在三维空间中才能同时体现。
对于四维时空中的几何对象，挠率的定义应该是三维空间中曲线的挠率的定义推广，但高维空间中，理解起来，其几何图象不再是那样直观。
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gage
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Re: 联络的挠率
通常我们都是在向量丛上来定义联络，但是更一般的可以在主从上定义联络。由Riemann度量的相容联络，即Levi-Civita联络提升为Spin丛上的联络换作主丛的语言更清楚些。另一方面，Riemann度量的相容的联络和Lorentz度量的相容的联络没有任何区别，所有的公式和定义都是完全一样的，因为那些公式并不要求度量对应的二次型正定。即使你的度量为(++--), 其联络也具有完全相同的表达式。
wikipedia 上说正交群的XXX, 就是指正交标架丛--这是一个主丛--上的相应理论。这里同样不能对挠率给出一个几何解释。
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gage
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Re: 联络的挠率
在我的印象中，对于一根曲线而言，挠率和曲率一样，有着非常明确的几何意义和直观解释图象，曲线的挠率和曲率，只有在三维空间中才能同时体现。
===============
此挠率非彼挠率。
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gage
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Re: 联络的挠率
在我的印象中，对于一根曲线而言，挠率和曲率一样，有着非常明确的几何意义和直观解释图象，曲线的挠率和曲率，只有在三维空间中才能同时体现。
===============
此挠率非彼挠率。
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星空浩淼
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Re: 联络的挠率
此挠率非彼挠率
－－－－－－－－－－－－－－－－－
呵呵，看来我张冠李戴了:-)
我当初学习刘辽的《广义相对论》时，记得书中谈到的“挠率”跟我上面说的“挠率”是一回事。
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gage
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Re: 联络的挠率
在我的印象中，对于一根曲线而言，挠率和曲率一样，有着非常明确的几何意义和直观解释图象，曲线的挠率和曲率，只有在三维空间中才能同时体现。
=================
甚至曲率都不一样，除非专门研究曲线理论，一般而言曲线也没有曲率。微分几何中的曲率都是指截面曲率。我们用相对论的语言来叙述这个事实，可以这样说，观测者认为自己是不动的，这个人认为他自身所在的世界线是平直而不是弯曲的。抽象地来说，任意两条曲线都是一样的，至少局部上一样，唯一的差别是其长度可能不同。
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Re: 联络的挠率
我当初学习刘辽的《广义相对论》时，记得书中谈到的“挠率”跟我上面说的“挠率”是一回事。
========
刘辽是who？你可能记错了吧。
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gage
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Re: 联络的挠率
曲线在他自己看来是没有弯曲的。
也许最早的“相对论”可以追溯到莎士比亚，因为他说过：头晕的人以为世界在旋转。嘿嘿
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星空浩淼
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Re: 联络的挠率
甚至曲率都不一样，除非专门研究曲线理论，一般而言曲线也没有曲率。微分几何中的曲率都是指截面曲率。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于二维平面里的曲线，曲线的曲率的定义比较明确；对于三维空间中的二维曲面，曲面的曲率有几种不同的定义（即有几种不同的方法来描述曲面某处的弯曲程度）。对于四维空间中的三维超曲面，其曲率的定义在表达上更复杂些。
对于挠率的定义，从低维空间到高维空间，是不是如同曲率一样也有一个类似的推广呢？我当年学刘辽的广义相对论，对其中谈到的挠率（用以衡量时空除了存在弯曲，是否还有挠），就是这样理解的。也许我当初理解不对？
我们用相对论的语言来叙述这个事实，可以这样说，观测者认为自己是不动的，这个人认为他自身所在的世界线是平直而不是弯曲的。抽象地来说，任意两条曲线都是一样的，至少局部上一样，唯一的差别是其长度可能不同。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
只要求“观测者认为自己是不动的”恐怕是做不到的吧？引力场中时空弯曲是内禀的。如果让观察者变成一个没有尺寸的质点，让他有一个局部加速度（等同于他所在地的引力加速度），那么他所在的局部时空中曲率为零，但时空整体的曲率无法消除吧。
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| 发表时间：2006-07-31, 01:08:18 |
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gage
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Re: 联络的挠率
甚至曲率都不一样，除非专门研究曲线理论，一般而言曲线也没有曲率。微分几何中的曲率都是指截面曲率。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于二维平面里的曲线，曲线的曲率的定义比较明确；对于三维空间中的二维曲面，曲面的曲率有几种不同的定义（即有几种不同的方法来描述曲面某处的弯曲程度）。对于四维空间中的三维超曲面，其曲率的定义在表达上更复杂些。
==============================
这些基本上属于古典微分几何。曲线被嵌入到平面，所以我们才能够谈论曲线的曲率。
==============================
对于挠率的定义，从低维空间到高维空间，是不是如同曲率一样也有一个类似的推广呢？我当年学刘辽的广义相对论，对其中谈到的挠率（用以衡量时空除了存在弯曲，是否还有挠），就是这样理解的。也许我当初理解不对？
==============================
肯定是记错了或者理解有误，也可能是那书写错了。
==============================
我们用相对论的语言来叙述这个事实，可以这样说，观测者认为自己是不动的，这个人认为他自身所在的世界线是平直而不是弯曲的。抽象地来说，任意两条曲线都是一样的，至少局部上一样，唯一的差别是其长度可能不同。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
只要求“观测者认为自己是不动的”恐怕是做不到的吧？引力场中时空弯曲是内禀的。如果让观察者变成一个没有尺寸的质点，让他有一个局部加速度（等同于他所在地的引力加速度），那么他所在的局部时空中曲率为零，但时空整体的曲率无法消除吧。
===============================
我们讨论的是几何。你见到过任何一本讨论相对论的书上观察者不是用一个点来表示的吗？你能够处理观察者是一个有大小的区域吗？恐怕只能说说而已，实际上是做不到的。另一方面，无论怎么处理，你都不可能将一个局部时空的曲率消掉使得其等于零。我仅仅是说曲线没有曲率而已，比曲线大一点都不行。
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| 发表时间：2006-07-31, 05:16:03 |
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kanex
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Re: 联络的挠率
affine connection的torsion类似于对世界线进行reparameterization，譬如本来一步一步的间距是一样的，现在变得不一样。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-07-31, 14:38:56 |
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gage
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Re: 联络的挠率
===教育哲学论坛上littlebird一文中的一个故事
一天， 爱因斯坦的儿子问爸爸：“您究竟为什么成了世界著名的人物呢？”
爱因斯坦笑着对儿子说：“你看，甲壳虫在一个圆形球面上爬行，可它意识不到它所走的路是弯的，而我却意识到了。”
===曲线没有曲率。
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| 发表时间：2006-08-02, 05:27:39 |
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星空浩淼
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Re: 联络的挠率
===曲线没有曲率。
－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于N维的几何体，只有在(N+1)维以上的空间中才能谈论它是否弯曲，才能定义它的曲率。
所以在二维平面上可以判断一根曲线是否弯曲，在三维空间才能判断某个二维曲面是否弯曲。
只有在一维空间中，曲线没有曲率。
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| 发表时间：2006-08-02, 10:36:18 |
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sage
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Re: 联络的挠率
所以在二维平面上可以判断一根曲线是否弯曲，在三维空间才能判断某个二维曲面是否弯曲。
??
I think you could do it by parallel transport. The result of a closed loop should proportional curvature. For example, for that little bug on the surface of a ball, the famous example is the sum of internal angles of a triangle.
| 发表时间：2006-08-02, 12:44:46 |
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星空浩淼
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Re: 联络的挠率
I think you could do it by parallel transport. The result of a closed loop should proportional curvature. For example, for that little bug on the surface of a ball, the famous example is the sum of internal angles of a triangle.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
呵呵，看来我犯了一个错误。
另外，如果某个自旋陀螺在运动中产生某种进动，可能也表明所在空间存在某种弯曲吧
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| 发表时间：2006-08-02, 23:41:18 |
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gage
发表文章数: 466
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Re: 联络的挠率
对于N维的几何体，只有在(N+1)维以上的空间中才能谈论它是否弯曲，才能定义它的曲率。
所以在二维平面上可以判断一根曲线是否弯曲，在三维空间才能判断某个二维曲面是否弯曲。
只有在一维空间中，曲线没有曲率。
=====================
这些说法基本上是错误的。
微分几何一个最基本的信念是说，微分流形不应该看作是被嵌入到一个很大的欧几里德空间当中，我们应该用内蕴的观点去看待微分流形。球面不需要放到任何空间中去，它一定可以测量出自己的曲率。对于我们生存于其中的宇宙是否弯曲这个问题，你永远不能把它放到一个更高维数的空间，然后去决定宇宙是否弯曲，我们人类就可以测量出来宇宙是否弯曲。
曲线的曲率是古典微分几何的一个概念，它是用来衡量曲线和直线的差别。而且这个概念严重的依赖于外围的大空间是平坦的，对弯曲空间中的曲线就没有办法定义其曲率。同样挠率也是依赖于平坦的背景空间。
另外，2维的Klein瓶不能放到3维欧氏空间中，那么它到底是否平坦还是弯曲呢？
对这个主题我想我得打住了。
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| 发表时间：2006-08-03, 01:16:37 |
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星空浩淼
发表文章数: 1743
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Re: 联络的挠率
gage 兄说得完全正确，这个地方我凭想当然，结果无论在物理上还是在数学上都错了，居然错得那么彻底:-)
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| 发表时间：2006-08-03, 03:22:58 |
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萍踪浪迹
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Re: 联络的挠率
：：对于N维的几何体，只有在(N+1)维以上的空间中才能谈论它是否弯曲，才能定义它的曲率。
====================================================
gage兄已经纠正过了，我来说说这个观点的另一方面。
Gauss的内蕴几何已经把几何学的研究从Euler时代的外蕴方式解脱出来，直接计算Gauss曲率判断曲面是否弯曲，Riemann做了很伟大的推广。
星空兄的意思是只有站在曲面外看曲面才可以得出直观的判断，站在高维空间看低维流形才可以看出是否弯曲。
首先，这个观点对于弯曲没有清晰定义。圆柱面是卷曲的，但是它和平面是可以建立局部等距的，因此其Gauss曲率为零，所以从内蕴几何观点看，它不是弯曲的。
其次，我们联系到Einstein的比喻，确实要从更高维数的空间观察，才可以看出是否“弯曲”，因为我们无法不通过计算而判明我们所在的时空流形是否“弯曲”，
第三，有着相同Riemann截面曲率（二维时就是Gauss曲率）的平面和柱面，我们也无法通过内蕴方式判断他们的不同，因为它们的Riemann截面曲率都是零。这就是星空兄的原话的真正意思，可惜在术语方面星空兄确实不够严谨。
：：所以在二维平面上可以判断一根曲线是否弯曲，在三维空间才能判断某个二维曲面是否弯曲。
=============================================
二维曲面上根本不能够讨论曲线挠率
：：只有在一维空间中，曲线没有曲率。
=============================================
即使是在高维空间中，曲线也没有内蕴曲率，因为它总可以在不伸缩的情况下被“拉直”，就是说可以和直线建立等距变换，而曲面就不都这样，比如球面无法和平面等距（无法摊平在平面上），正说明了其曲率不为零（事实上，n维球面是典型的“常正Riemann截面曲率空间”）
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-08-03, 11:05:33 |
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星空浩淼
发表文章数: 1743
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Re: 联络的挠率
谢谢萍踪兄，你的讲解让我理解得更加清晰了。在古老的微分几何中，从那些曲率的定义表达式来看，很容易得出我那些不准确或者错误的结论。
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| 发表时间：2006-08-04, 00:15:47 |
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widepiano
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Re: 联络的挠率
潛水很久,第一次發表文章,請大家多指教
我不是數學專業,但依我在一些paper看到torsion tensor 的解釋
一向量沿另外一個向量平行輸送軌跡圍成平行四邊形,但在有撓空間
這個平行四邊形有缺口,這個缺口的程度就由torsion tensor決定,
當 affine connection下標對秤的時候缺口是零
我也很直觀的想像一個扭曲越厲害的空間這個缺口越大,所以torsion tensor用來
度量時空的扭曲程度,為何會說torsion tensor沒有幾何意義?
還是以上的說法或我的理解有誤?
以上提到的可以看
Hammond.R.T, Rep. Prog. Phys. 65 (2002) 599–649 第602頁
Borut Gogala ,International Journal of Theor. Phys. VOL.19 No8 1980
573-586 的第579頁
劉遼的廣義相對論第二版 60頁
| 发表时间：2006-08-04, 03:42:02 |
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