轩轩
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为什么exp(x)的导数还是它本身?
请大家解释一下,
不能用泰勒展开哦
问题的起因【棣莫佛定理】
复数Z的n次幂(n∈N)的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍，有公式：
若Z＝r(cosθ＋isinθ)
Zn=〔r(cosθ＋isinθ)〕n＝rn·(cosnθ＋isinnθ)(n∈N)
但我看不出为什么
exp(i θ )＝(cosθ＋isinθ)
《相对论通俗演义》
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| 发表时间：2006-04-28, 01:17:58 |
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XXFF
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
是复数欧拉公式,证明在教科书上有.
XXFF
| 发表时间：2006-04-28, 01:48:29 |
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轩轩
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
怎么证明的?
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| 发表时间：2006-04-28, 01:52:05 |
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XXFF
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
把exp(ix)幂级数展开,按实部虚部分开,实部是余弦函数幂级数展开式,虚部是正弦函数展开式.
XXFF
| 发表时间：2006-04-28, 03:34:36 |
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轩轩
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
如何确定级数展开的系数??
《相对论通俗演义》
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| 发表时间：2006-04-28, 05:49:31 |
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kanex
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
ft，事实上，不如说 f(x) = f'(x) 就是e^x的定义吧，呵呵。
let me tell you the story of e^x... [by john baez, as always]
e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3!..........
这个级数展开到底是怎么来的呢？还要追溯到e^x的起源。
我们知道，从一个有a个元素的finite set到一个有b个元素的finite set的morphism有b^x种。那么，什么东西有e个元素呢？Claim: the category of all finite sets has a cardinality of e。
Why? 很简单的，我们以前说过怎么算cardinality: 累加(1/Aut(x))。例如，5个元素的集合除2等于多少？等于2.5〔weak quotient, i like it〕，那么为什么得到的东西的cardinality是2.5？因为 1<->5, 2<->4，剩下一个3<->3是Automorphism，那么就是1/1+1/1+1/2+1/1+1/1〔至少有一个trivial的automorphism〕，那么就是2.5。那么我们看FinSet这个category，那么permutation就是一个Automorphism，order n的finite set有n!种permutation方式。那么，恰好就是1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .... = e。神奇。
所以e^x就是从FinSet到cardinality = x的set的所有可能的morphism的个数。
但这不够，我们要还考虑导数在这种“荒唐”的思路下到底是什么东西。这个问题先留给你。
ft!
| 发表时间：2006-04-28, 06:55:02 |
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kanex
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
写反了，e^x是从cardinality = x的set到FinSet的所有可能的morphism的个数。
这事实上是为何e^x无处不在的最深层原因。
ft!
| 发表时间：2006-04-28, 06:56:27 |
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kanex
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
写得太快，还有错
从一个有a个元素的finite set到一个有b个元素的finite set的morphism有b^a种。
1/1+1/1+1/2 = 2.5。
ft!
| 发表时间：2006-04-28, 06:58:09 |
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萍踪浪迹
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
复变函数论的所有教材都有证明
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-04-28, 09:09:32 |
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轩轩
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
kanex同学在这里表现的很出色
我想你说的是对的 虽然我不是很清楚beaz的数学 不过你提到了e无处不在的原因
《相对论通俗演义》
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| 发表时间：2006-04-28, 19:51:17 |
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megatron
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
首先在实数轴上定义了函数f(x)=exp(x), 是我们通常所知道的形式, 它的导数还是它本身,并且可以在全实轴上展开成为幂级数;
然后将幂级数中的x在形式上换成z, 使原来实数轴上的幂级数在形式上成为复平面上的幂级数, 很容易证明它在整个开复平面上都是收敛的, 由全纯函数（解析函数）唯一性定理知,
它是exp(x)唯一的解析延拓形式, 就定义它为复平面上exp(x)的形式;
最后代入z=x+iy计算可知, exp(z)= exp(x) *(cosy+isiny). 特别地, 有exp(i θ )＝(cosθ＋isinθ).
| 发表时间：2006-05-07, 19:39:36 |
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一剑断浪
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
这个问题昨天上课的时候老师好像提到过！
具体的证明过程没讲,
但是好像出现在复值那！
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复数Z的n次幂(n∈N)的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍，有公式：
若Z＝r(cosθ＋isinθ)
Zn=〔r(cosθ＋isinθ)〕n＝rn·(cosnθ＋isinnθ)(n∈N)
这个在N阶齐次常系数线性微分方程
的解法证明中有应用到！
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这里高手很多，
我也想了解一下这个公式的其他应用！
不知经历了多少轮回，彼此间才会如此惦念！
| 发表时间：2006-05-09, 06:31:49 |
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季候风
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Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
幺模复数可以与 SO(2) 这个矩阵群等同. 在矩阵代数里面能证明欧拉公式.
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-05-10, 16:20:08 |
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Omni
