一剑断浪
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请教几个关于代数学的问题
问题一： 概念：
非空集合S上一个二元关系R还可以用 笛卡尔积S×S 的一个子集 T 表示
T 规定如下：
T={（a,b）∈S×S| a,b有关系R}
于是可以说，元素a.b有关系R，当且仅当（a,b）∈T
T 称为关系R在S×S中的图像
问：笛卡尔积S×S 的概念是什么？
与集合的积有什么不同？
图像意味着什么？
问题二： 划分，分割，分类 之间的区别与联系
我感觉这三个概念讲得好像是一回事，
那自然而然的可以问：
等价类与分类间的关系
问题三： 幂集P（S） ，等价类 ā ，商集 S|~ 间的关系
幂集P（S）：S 所有子集的集合
等价类： 划分 Sλ 是 S 的 一组子集
商集 ： 等价类的集合而每个等价类互不相交
？ 那可不可以说：S|~ 包含于P（S）
ā属于P（S）
ā属于S|~
我也是刚接触近世代数，老师向我们推荐< 代数学引论>
我就自学喽，可是能力有限，好多问题不明白！
老师说学这本书要有一定知识的基础，
可是她也没说明白要哪些知识作准备。
只好自己没事研究研究了！
小妹我学到的知识比较肤浅，
各位大哥大姐们见笑了！
请多多指教了！
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| 发表时间：2006-03-18, 07:08:23 |
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萍踪浪迹
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Re: 请教几个关于代数学的问题
笛卡尔积S×S，你可以去类比两个直线的笛卡尔积（Descartes，Cartisian product）其实即使一个平面，这就是几何图象
至于等价类就是多点粘合形成一点，原来的集合就是等价类集合，这个集合就是关于等价关系形成的商集。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-18, 07:59:46 |
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那一剑的寂寞
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Re: 请教几个关于代数学的问题
问题一： 概念：
非空集合S上一个二元关系R还可以用 笛卡尔积S×S 的一个子集 T 表示
T 规定如下：
T={（a,b）∈S×S| a,b有关系R}
于是可以说，元素a.b有关系R，当且仅当（a,b）∈T
T 称为关系R在S×S中的图像
问：笛卡尔积S×S 的概念是什么？
与集合的积有什么不同？
图像意味着什么？
问题二： 划分，分割，分类 之间的区别与联系
我感觉这三个概念讲得好像是一回事，
那自然而然的可以问：
等价类与分类间的关系
问题三： 幂集P（S） ，等价类 ā ，商集 S|~ 间的关系
幂集P（S）：S 所有子集的集合
等价类： 划分 Sλ 是 S 的 一组子集
商集 ： 等价类的集合而每个等价类互不相交
？ 那可不可以说：S|~ 包含于P（S）
ā属于P（S）
ā属于S|~
我也是刚接触近世代数，老师向我们推荐< 代数学引论>
我就自学喽，可是能力有限，好多问题不明白！
老师说学这本书要有一定知识的基础，
可是她也没说明白要哪些知识作准备。
只好自己没事研究研究了！
小妹我学到的知识比较肤浅，
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对于问题一：笛卡尔积S×S 与集合的积是一回事，关系的抽象化处理就是一个集合，这是集合论的公理化作用。还可以把集合之间的积看作一个具有泛性质的映射，就相当于张量积的泛性质，这是我看到的最抽象的处理。在你自己理解关系的时候，其实这些可以暂时不予理会，也没有理会的必要，就按照最自然的方式去理解就可以了。你知道函数的图象吗，这里跟它也差不多，没有多少本质的区别，只不过是一种几何化的说法而已，你学过实变就知道，那里面有一个函数的下方图象，然后要你算它的测度，从而引出乘积测度和截口，这些东西都是从图象出发讲的，也比较好理解。你这里这样提也是为了好理解抽象的东西。
问题二和问题三一起讲，这实质上是一个问题，就是关于等价类和划分的问题。用等价类来划分一个集合是集合元素的一种分类。分类这个概念的外延太大了，不好讨论。我们用的最多的是等价分类，这个实质上是在集合上引入了一个结构。一个集合上没有结构，这个集合就太赤裸了，太单调了，没有什么研究的价值，而一旦引入结构，就截然不同了，这就是Bourbaki的结构主义哲学。这一块你只要知道和搞懂一个定理就可以，那就是一个“对应”，等价划分和等价关系是一一对应的，也就是说，在一个集合上引入一个等价关系，就等于说得到了这个集合的一个划分，反之，从一个集合的等价划分出发，我们就可以在这个集合上定出一个等价关系。以后的什么剩余类群，轨道，商集（其实它就是一个特殊的等价类集合）等概念，就好理解了，当然，商集这个概念很微妙，你以后会体会到它的好处，关键就在于它模掉了集合中的一些相同相同的元素，得到了我们需要的互异性，你看群论中Burnside引理和由此引申出的Polya计数定理，就知道了它的好处。
我的这些陋见，不妨做一下参考，关键还得自己琢磨。
| 发表时间：2006-03-19, 22:42:37 |
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一剑断浪
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Re: 请教几个关于代数学的问题
谢谢哪一剑兄，
你说的我基本明白了！
那可否说明一下张量积的泛性质？
这个我不是很清楚！
还有：
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你知道函数的图象吗，这里跟它也差不多，没有多少本质的区别，只不过是一种几何化的说法而已，你学过实变就知道，那里面有一个函数的下方图象，然后要你算它的测度，从而引出乘积测度和截口，这些东西都是从图象出发讲的，也比较好理解。你这里这样提也是为了好理解抽象的东西。
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我不明白：
T是子集，用这样一种方式，
即 T={（a,b）∈S×S| a,b有关系R}
来规定关系R在S×S中的图像概念
这不是一种代数说法么？
你所说的‘从图象出发’
是已知了图像吧？
而这里的图像似乎不易画出来啊！
如果按萍踪兄 所说：
两个直线的笛卡尔积（Descartes，Cartisian product）其实即使一个平面，这就是几何图象
那么笛卡尔积就是两条直线构成几何图象（平面）的一种代数运算么？
那么T 是否可以看成是几何图象的抽象表达形式？
小妹不才，敬请指教，多谢多谢！
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| 发表时间：2006-03-20, 22:10:02 |
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季候风
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Re: 请教几个关于代数学的问题
概念：
非空集合S上一个二元关系R还可以用 笛卡尔积S×S 的一个子集 T 表示
T 规定如下：
T={（a,b）∈S×S| a,b有关系R}
于是可以说，元素a.b有关系R，当且仅当（a,b）∈T
T 称为关系R在S×S中的图像
～～～～～～～～～～～～～
这个定义很糟糕。作者的原意可能是想把概念的抽象部分和具体部分分离，以为这样会更容易理解，结果适得其反。更好的定义方式是，直接定义 S 上的关系为 S x S 的一个子集 R. 然后我们说 a 对 b 有关系 R, 记为 aRb, 当且仅当 (a,b) 属于 R.
这里重要的是逻辑，而不是图像。最好的练习是，用上面集合的语言描述什么叫等价关系，什么叫偏序关系，什么叫函数关系。比如 S 上的一个等价关系 R, 是 S x S 的一个子集使得对任意元素 a， (a,a) 属于 R; 如果 (a,b) 属于 R, 那么 (b,a) 属于 R; 如果 (a,b) 属于 R, (b,c) 也属于 R, 那么 (a,c) 属于 R. 你自己试一下偏序关系和函数关系。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-20, 23:10:52 |
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季候风
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Re: 请教几个关于代数学的问题
你自己试一下偏序关系和函数关系
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
忘记说了，函数关系实际上是从集合 S 到另一个集合 T 的关系。你自己试着把“集合上的关系” 推广到 “从一个集合到另一个的关系”。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-20, 23:26:26 |
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一剑断浪
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Re: 请教几个关于代数学的问题
谢谢
季候风兄了！
我会试着写写看的！
可惜这段时间忙着考试，
可能要等一段时间请教了！
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| 发表时间：2006-03-25, 06:26:12 |
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一剑断浪
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Re: 请教几个关于代数学的问题
谢谢
季候风兄了！
我会试着写写看的！
可惜这段时间忙着考试，
可能要等一段时间请教了！
对了我申请MSN了
yzyk_008@hotmail.com
不知道我给你发的邮件你看见没有！
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| 发表时间：2006-03-25, 06:27:09 |
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