rainbow
发表文章数: 61
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 128/128
一个初等数学问题
证明:若空间四边形两组对角相等,则两组对边相等.
诸位可有简便证法?
| 发表时间：2006-03-01, 09:32:34 |
 作者资料
|
jietuo
发表文章数: 85
武功等级: 野球拳
(第九重)
内力值: 142/142
Re: 一个初等数学问题
见鬼，还真有点难
| 发表时间：2006-03-03, 20:28:33 |
作者资料
|
痴心数码
发表文章数: 7
武功等级: 野球拳
(第一重)
内力值: 76/76
Re: 一个初等数学问题
证明如下：
令Ａ、Ｃ和Ｂ、Ｄ为两组对顶点，
连接ＢＤ，则
∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ （１）
∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＋∠ＣＤＢ
两式相加得
∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ
再由（１）得
∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ
从而
ΔＡＢＤ≌ΔＣＤＢ
∴ ＡＢ＝ＣＤ
ＡＤ＝ＣＢ
痴心数码
| 发表时间：2006-03-04, 07:47:09 |
作者资料
|
jietuo
发表文章数: 85
武功等级: 野球拳
(第九重)
内力值: 142/142
Re: 一个初等数学问题
∠ABC=∠ADC怎么得出＂∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＋∠ＣＤＢ＂？？
| 发表时间：2006-03-04, 10:21:53 |
作者资料
|
rainbow
发表文章数: 61
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 128/128
Re: 一个初等数学问题
这题的确不大简单,是1972年Putnam数学竞赛题.我本人的证法非常烦琐,除余弦定理之外,还运用了Ptolemy定理在空间四边形上的推广.但原答案我找不到.
| 发表时间：2006-03-05, 09:53:30 |
作者资料
|
痴心数码
发表文章数: 7
武功等级: 野球拳
(第一重)
内力值: 76/76
Re: 一个初等数学问题
不好意思，看成平面图了！呵呵……
下面的证法应该是较为简洁的吧（不愿细写，只写思路吧）：
易证，空间四边形“四顶点共球”（其实还唯一确定一球体）
在球面内类似易证（完全雷同于圆周内的简单证明）
“球面角”等于“球心角”的一半
“等角对等弦”
立得：
若空间四边形两组对角相等,则两组对边相等。
痴心数码
| 发表时间：2006-03-06, 07:09:46 |
作者资料
|
痴心数码
发表文章数: 7
武功等级: 野球拳
(第一重)
内力值: 76/76
Re: 一个初等数学问题
不好意思，又想错了！呵呵……
虽然易证，空间四边形“四顶点共球”（其实还唯一确定一球体）
但在球面下面的两个结论都是不成立的
“球面角”等于“球心角”的一半
“等角对等弦”
痴心数码
| 发表时间：2006-03-06, 07:51:00 |
作者资料
|
jietuo
发表文章数: 85
武功等级: 野球拳
(第九重)
内力值: 142/142
Re: 一个初等数学问题
唉！想不到看起来这么简单的东西竟然这么难，很不爽。
我找了好几个同学都做不出来。
哪位高手帮忙解决一下把。
| 发表时间：2006-03-07, 10:53:39 |
作者资料
|
student
发表文章数: 18
武功等级: 野球拳
(第二重)
内力值: 92/92
Re: 一个初等数学问题
这里有一个解答
[url=http://218.1.231.240/iqbbs/dispbbs.asp?boardID=9&ID=169349]若空间四边形两组对角相等,则两组对边相等[/url]
| 发表时间：2006-03-22, 08:03:27 |
作者资料
|
rainbow
发表文章数: 61
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 128/128
Re: 一个初等数学问题
恕我直言：那是证明？
| 发表时间：2006-03-22, 21:22:17 |
作者资料
|
student
发表文章数: 18
武功等级: 野球拳
(第二重)
内力值: 92/92
Re: 一个初等数学问题
你是说这个?
以下是引用gauss在2006-3-8 22:50:31的发言：
证明或反驳
是正确的，证明如下。
假设空间四边形ABCD中，AB=a，AD=b，AC=c，CD=p，BC=q，BD=r。
如果a≠p或b≠q，不妨假设a≠p，那么由余弦定理得到两个方程
(a^2+q^2-c^2)/(2aq)=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)，(a^2+b^2-r^2)/(2ab)=(p^2+q^2-r^2)/(2pq)，
从上面两个方程可以得到
(aq-bp)c^2=-(ap-bq)(ab-pq)，(ab-pq)r^2=-(ap-bq)(aq-bp)，
如果ab=pq，则必然b≠q，并且p=ab/q。而由上面的表达式中可以得到此时必须aq=bp或ap=bq。如果aq=bp，则把p=ab/q代入，得到b=q，与b≠q矛盾。如果ap=bq，则把p=ab/q代入，得到a=q，从ab=pq就得到b=p，再从(a^2+q^2-c^2)/(2aq)=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)就得到a=b，于是就得到a=b=p=q，这也与b≠q矛盾。因此ab=pq是不可能的。
同理可证明aq=bp也是不可能的。
如果aq≠bp并且ab≠pq，那么就得到c^2=-(ap-bq)(ab-pq)/(aq-bp)，r^2=-(ap-bq)(aq-bp)/(ab-pq)，代入由六棱确定的四面体的体积公式里得到体积为0，也就是说这是一个平面四边形，与假设ABCD为空间四边形矛盾，结论得证。
附：六棱确定的四面体的体积公式，如果四面体ABCD中AB=a，AD=b，AC=c，CD=p，BC=q，BD=r，令
P1=(ap)^2(-a^2+b^2+c^2-p^2+q^2+r^2)，
P2=(bq)^2(a^2-b^2+c^2+p^2-q^2+r^2)，
P3=(cr)^2(a^2+b^2-c^2+p^2+q^2-r^2)，
（容易看出a和p，b和q，c和r是对棱）
Q=(abr)^2+(acq)^2+(bcp)^2+(pqr)^2，
（容易看出a、b、r共面，a、c、q共面，b、c、p共面，p、q、r共面）
则四面体ABCD的体积
V=sqrt(P1+P2+P3-Q)/12。
这个体积公式是比较容易记忆的。
| 发表时间：2006-03-22, 22:59:54 |
作者资料
|
rainbow
发表文章数: 61
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 128/128
Re: 一个初等数学问题
证明不错,和我的证明有一小半相同,但是有没有简单的纯粹几何证明?
| 发表时间：2006-03-23, 08:47:21 |
作者资料
|
繁星点点
发表文章数: 66
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 131/131
Re: 一个初等数学问题
比较简洁的几何类证明有啊，从构造满足条件的空间四边形的一般性和唯一性入手来证明。
比较简洁不需要什么代数运算。
菩提本无树,明镜亦非台,本来无一物,何来惹尘埃.
| 发表时间：2006-06-15, 03:24:42 |
作者资料
|
gage
发表文章数: 466
武功等级: 空明拳
(第三重)
内力值: 415/415
Re: 一个初等数学问题
圆的内接四边形，凹的那种，不满足结论。
繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。
一只小小的温度计，向我们报告宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-16, 00:09:15 |
作者资料
|
繁星点点
发表文章数: 66
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 131/131
Re: 一个初等数学问题
圆的内接四边形，凹的那种，不满足结论。
=======================
晕~不是空间四边形吗？平面的还有什么要证明的？再说凹四边形对角可能相等？
菩提本无树,明镜亦非台,本来无一物,何来惹尘埃.
| 发表时间：2006-06-16, 18:14:09 |
作者资料
|
dfj