coho
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为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
看到Roger Penrose 的书上说，刚体转动的取向（rotational orientation）组成非欧的多连通空间，他虽然做了解释，还是不甚清楚。非欧好理解，但多连通就看不出来。他用虚拟带子的说法更是不知所云！恳请哪位兄姐、老师释疑！coho谢谢了！
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| 发表时间：2006-06-15, 05:18:28 |
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windowsxp
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
不确切了解你的问题的意思
不知这样来回答，能否迎合你的期望：
在取定空间定向的前提下（一般取右手系），刚体的转动状态可以用固有的正交变换（行列式非负的正交变换）来表征，固有的正交变换成为一个单连通紧致李群，群运算不可交换，其上的群结构不同于向量加群，这样可解释非欧（通常非欧并不是这个意义）。
因为空间有两个定向，所以其表示依赖于定向，若不计定向，考虑所有的表征，则其表征就是正交群，它有两个连通分支。
三维空间中，刚体的转动状态也可用向量表示，不过该表示与空间定向有关，称为赝向量。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-17, 08:50:24 |
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gage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
刚体转动 A 是三维空间的一个线性变换，考虑其行列式 det A=|A| ，则有两种可能，1，-1。映射 det : A-->|A| 是连续的，所以缸体运动至少要分两类。
还是找本群论的书翻一下好些，最好是针对物理而写的群论书籍。
繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-17, 23:54:35 |
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coho
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
谢谢windowsxp和gage的很有帮助的解释，现在好像基本上清楚了，但真的还要努力用功，看来差距大得很……同学们说这个论坛上有很多人，很抽象的代数学好像是他们的天生语言，born with it，很钦叹你们这样的奇异物种。coho感到与外星超人在一起。
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| 发表时间：2006-06-18, 09:41:20 |
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季候风
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
看到Roger Penrose 的书上说，刚体转动的取向（rotational orientation）组成非欧的多连通空间，他虽然做了解释，还是不甚清楚。非欧好理解，但多连通就看不出来。
~~~~~~~~~~~
这叫故弄玄虚, 不必理会
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-06-18, 17:33:16 |
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coho
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
季候风，你是开玩笑说Penrose故弄玄虚？
我觉得Penrose虽然是数学很好的物理家，但还是很关心数学不好又想理解物里的人，像他的Emperor’s New Mind，Shadows of Mind，都是很受一般读者欢迎的书。他的The Road to the Reality也有此功能，尽管有了些公式在里面。
为何他要在此故弄玄虚呢？
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| 发表时间：2006-06-19, 00:18:45 |
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季候风
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
既然你不知所云了, 他当然就是故弄玄虚了. 科普科普, 整这些 "非欧" "多连通" 之类的词又不加以解释, 还能叫科普吗
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-06-19, 00:55:42 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
xixi，Penrose确实喜欢在科普著作中灌水，所以新作实在很长很长
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-06-19, 08:38:16 |
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sage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
为何他要在此故弄玄虚呢？
I am not sure about his mathematics. He clearly does not understand physics well enought to be called a physicist. Please ignore anything he said in "Road to Reality" about particle physics. There are a lot of wrong things in there.
The configuration space of rotating body is not trivial. On this other hand, this probably does not lead to any deep physics.
| 发表时间：2006-06-20, 00:20:53 |
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星空浩淼
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
要弄清这个，关键词是“群流形”和“流形的拓朴学”。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-20, 01:13:30 |
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windowsxp
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
科普对于年轻人的最重要意义恐怕在于激发想象力和好奇心，引起他们的求知欲，引导他们深入到未知的领域，并同时传达一种科学精神。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-20, 02:24:27 |
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gage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
我不大喜欢这两个英国人。Penrose的科普书，不上不下的。另外，两个人对Godel的定理恐怕都没理解。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-21, 01:32:04 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
：：Please ignore anything he said in "Road to Reality" about particle physics. There are a lot of wrong things in there.
==================
他在粒子物理方面的说法实在太落后了~我看那里的章节仿佛回到了70年代。。。。。。。
另外数学方面也写得很夹生，实分析与复分析，对于一般读者实在没有必要，对于受过理科教育的人，更没有必要~
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-06-21, 02:21:02 |
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coho
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
这里高手多，连Penrose这种泰山的武功弱点也能一一指出。由衷静佩之至！I wish I can really figure out what you talk about, someday! I wish I can be a qualified fan, someday! 但我不认为Penrose有意故弄玄虚，或写书灌水，没有必要的吧。
不过，不用拓扑，流形，就真的不能理解到物理的essence, even details？
群已经够难了，流形对我而言听起来就是＂流动的物体，flowing object, changing constantly＂的意思。＂群流形＂，＂流形的拓扑学＂, my goodness! awful! scary! Inventions of monsters, to torture the good people!
好数学多得很，像微积分，矩阵，微分方程，既可爱又powerful，基本物理怎么就非得要用那些grotesque的数学呢？
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| 发表时间：2006-06-21, 07:54:56 |
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sage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
不过，不用拓扑，流形，就真的不能理解到物理的essence, even details？
I think you can understand almost all physics very well, even if you only have some very naive and elementary knowledge about topology.
If you see something filled with fancy terminolgy of geometry, it is usually because it does not have any real physics to say.
| 发表时间：2006-06-21, 10:45:06 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
：：好数学多得很，像微积分，矩阵，微分方程，既可爱又powerful，基本物理怎么就非得要用那些grotesque的数学呢？
======================================
微积分，矩阵，微分方程是最最基本的数学工具，学习现代物理时根本不够用，如果你不会Lie群表示论，那么你基本上无法掌握70年代的物理，更不用说现在的物理。
流形，英文为manifold，不是流动形，粗略说只是弯曲空间而已，稍微细致说，就是局部同胚于平直空间的几何体，更细致的说法，可以去看教科书。
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| 发表时间：2006-06-21, 11:03:57 |
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sage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
如果你不会Lie群表示论，那么你基本上无法掌握70年代的物理，
I think you probably need to know what it is. On the other hand, you definitely do not need all the deep details/theorems of it. You can probably learn the necessary stuff in one morning.
There are a lot of tedious book keeping in group theory, various representations and so on. But it is not useful at all to remember all of them.
| 发表时间：2006-06-21, 13:17:10 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
hehe. I see.
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| 发表时间：2006-06-21, 13:33:29 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
对于学物理的人而言，群表示论方面的很多细节问题是毫无必要去掌握的，毕竟这只是我们的工具，够用就可以了。
物理学家用的群论与数学家用的群论有着巨大的学科差异，因此我一直不喜欢看那些一开头就是一大堆公理的群表示论书籍。
或许直接从线性变换群开始讲，比较适合物理学者。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-06-21, 13:36:19 |
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windowsxp
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
manifold 原始意思是 多面手 的意思
流形就是数学中的多面手。
对于一个试图解决一个实际的物理问题的人，他会对所谓的高深的数学给出中肯的见解。
当我们不是考虑一个具体的运动，而是考虑所有可能的运动，或者是询问某一大类运动中是否存在着某一个特殊的运动时，你就会对数学给你的洞察力所折服。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-22, 23:48:54 |
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coho
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
如果你不会Lie群表示论，那么你基本上无法掌握70年代的物理，。。。
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对于一个试图解决一个实际的物理问题的人，他会对所谓的高深的数学给出中肯的见解。
当我们不是考虑一个具体的运动，而是考虑所有可能的运动，或者是询问某一大类运动中是否存在着某一个特殊的运动时，你就会对数学给你的洞察力所折服。
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Thanks a lot for the helpful input from you masters of math and physics!大师高手！
I’ve decided to pick up group theory and try to learn differential geometry. But topology is really way too evasive根本摸不到门…I don’t understand the least, completely lost in the first few pages莫名其妙.
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| 发表时间：2006-06-24, 04:32:53 |
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sage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
Thanks a lot for the helpful input from you masters of math and physics!大师高手！
I’ve decided to pick up group theory and try to learn differential geometry. But topology is really way too evasive根本摸不到门…I don’t understand the least, completely lost in the first few pages莫名其妙.
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This means at this stage, you do not need topology yet. If you really need them, you will at least see the motivation of some of it.
It depends on your interest. If you are interested in learning physics, do not bury yourself in a big chunk of math yet. Learn what is necessary for you to move forward, and not much beyond that. you can skip a lot of proofs, definitions and so on. An intuitive picture is much more important for physicist.
If you are interested in Mathematics, it is probably your job then to understand all those 莫名其妙 stuff.
| 发表时间：2006-06-24, 12:06:54 |
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windowsxp
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
想让自己的大脑更完美一些，就应该接受必要的数学训练，当然这种训练并非是当今中国大学所实行的训练。大学对学生数学能力的要求是苛刻和不合理的。
其实数学并不难，只要习惯了数学的思维方式，学习数学是不难的。数学里大都是一些直观的东西，形式的东西只是表面现象。
在理论方面，数学的发展和物理的发展是完完全全一样的
数学 和物理是统一的，都主要是研究客观世界的。数学直觉和物理直觉是相通的，二者是共长共存的关系，不是此消彼长的关系。时间的分配在两方面也不是矛盾的。
当然，在大学里，时间的分配总是矛盾的，因为要应付考试，但考试能力对研究能力根本就没有帮助，通过考试的方式来测试研究能力根本就是不可行的。
：：An intuitive picture is much more important for physicist.
这或许对应用物理是有益的。对于研究物理而言，是利弊兼有的。
对于研究物理而言，重要的不是图象本身，而是创造图象，改变图象，在各种图象之间自由转换的能力。图象不是目的，而是随时可以改变或抛弃的工具。在数学的创造中，图象的地位是同样的。
在数学和物理这两个领域里，图象之所以是重要的，这原因恐怕就是人脑不是电脑，人脑有自己独特的信息处理方式。
对于一些模式，如果你想彻底的把它搞清楚，你就必然要达到数学的标准。
数学是不可超越的认知标准，如果没有达到数学的标准就说明你的认识还有不完善不充分的地方，你的认识还有发展的空间。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-24, 23:58:17 |
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萍踪浪迹
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
：：An intuitive picture is much more important for physicist.
这或许对应用物理是有益的。对于研究物理而言，是利弊兼有的。
对于研究物理而言，重要的不是图象本身，而是创造图象，改变图象，在各种图象之间自由转换的能力。图象不是目的，而是随时可以改变或抛弃的工具。在数学的创造中，图象的地位是同样的。
在数学和物理这两个领域里，图象之所以是重要的，这原因恐怕就是人脑不是电脑，人脑有自己独特的信息处理方式
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理解图象，创造图象，都是属于图象领域
一个物理学家提出种种物理模型，然后验证，然后取舍，这些都是图象问题
无论对于应用物理还是理论物理，都是这样的。
所以sage已经很简约得说出一切了
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-06-26, 04:37:55 |
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coho
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
谢谢各位大师的意见。coho自觉最近长进不少。
下面是一同学的哥哥的回答，我觉得很直观，没有提流形，也没用连续群。但不知严谨性如何。特请诸位大师点评:
"......刚体的一个转动可以表示为一个向量，其长度为转角（取值范围为0到无穷大），其方向为转轴方向。全体转动构成一个空间。但由于转动的特殊性，这个空间有些特别之处使之区分于一般的欧氏空间或单连通空间。最重要的是，该空间有些不同位置的点其实是等价的，即应该是同一个点。例如，绕任意轴转动180度与绕该轴转-180度是一样的，但对应于取向空间两个很不一样的向量。又如，绕任意轴转动alpha+n*360度与绕该轴转alpha度是一样的，但它们对应于取向空间很不一样的一组向量。也就是说，该空间里有"奇怪"点。于是可以看出，这个空间里有两类道路：一类是由小于180度转角的转动连成的，另一类则既含小于180度转角的转动也含大于180度转角的转动。如果取闭合道路，则前一类必定是可以收缩至一点，因为该闭合道路（集）必不跨越上述的奇怪点。但后一类则必不能收缩为一点，因为该闭合道路（集）必会跨越奇怪点。既然有两类不同的道路，该空间就是双连通的。"
附原文：
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Hello, Suzan,
Well, well, I agree that Roger was not friendly enough here. A “straightforward＂ picture, however, is possible, without using differential geometry or topology. Here is my try: Any rotation of a rigid object can be described as a vector with its length (from 0 to infinity) as the rotation angle and its direction as the orientation of the rotation axis. All possible rotations form a space, one may say. The rotation has some peculiar properties that render this very space somewhat different from ordinary Euclidean or singly-connected spaces. The most important difference is that some ostensibly different points in this space are actually equivalent, i.e, they are actually the same point. For instance, a rotation of 180 degrees around any axis is the same as the rotation of -180 degrees around that axis although they are different points in the space. The same can be said regarding a rotation of alpha angles around any axis and the rotations of alpha + n*360 (n being an integer) around the same axis. They are all the same rotations but correspond to a set of points in the orientation space. These facts mean there are “strange＂ points in the orientation space. One can find that there are two distinct types of paths in the space: one formed by rotations with rotational angles less than 180 degree and the other formed by rotations with rotational angles both less and larger than 180 degrees. If only closed paths are taken, then we find that the first type can always be contracted to a point whereas the second type can not. This is simply because a path of the first type does not pass any “strange＂ points while a path of the second type does. Since there are two types of paths, the space is said to be doubly connected.
Hope it help clarify your questions. You are free to pass the message to your friends or post it on internet forums.
Have a nice day!
Ed
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| 发表时间：2006-07-09, 00:04:42 |
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gage
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Re: 为何刚体转动取向空间是非欧的多连通空间
还在考虑这个问题啊，楼主真是孜孜不倦，先赞一个。
全体刚体转动构成的集合一般记作 SO(3), 可以证明 SO(3) 与 RP^3=S^3/Z_2 同构，而S^3/Z_2 的基本群为Z_2. 我们定义基本群非平凡的空间为多连通的。由定义可知 SO(3) 为多连通的。此处 S^3 为 3 维球面，Z_2 为具有两个元素的乘法群{1,-1}. 另一方面， S^3 是具有常曲率 1 的空间，Z_2 在其上的作用是等距，所以其商空间S^3/Z_2 也是常曲率为 1 的对称空间。而欧氏空间是常曲率 0 的单连通空间。
其实我们考虑 SO(3) 的时候，就是把它看作一个群，其中的元素就是空间的转动，很少去讨论其上的几何。Penrose 这样添油加醋的描述完全属于画蛇添足。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
多普勒说，你们都是红眼病。
这一刀扎下去，使五千年中国文明立时成为了一个谎言。整个中国历史必须以这个细节为切入口重新改写。
| 发表时间：2006-07-09, 02:08:39 |
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Omni