物理学中的 “魔数”

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本文发表于 2021 年 1 月 14 日的《南方周末》，发表稿不含注释。

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物理学中的 “魔数”

- 卢昌海 -

物理学中有一些很著名的常数，比如万有引力常数、光速、基本电荷、普朗克常数，等等。起码在目前看来，这些常数都很基本——也就是说，没有什么理论可以推导出它们的数值。但另一方面，这些常数的数值都跟物理单位的选择有关，就好比一个人身高的数值既可以是 1.70，也可以是 5.58，取决于所用的长度单位是米还是英尺。因此，这些常数虽然都很基本、也很著名，但对物理学家来说，其魅力——从某种意义上讲——却赶不上本文所要介绍的另一个常数。

这个常数叫作精细结构常数 (fine-structure constant)，它的魅力使很多物理学家着迷，有些人甚至称它为 “魔数” (magic number)——比如美国物理学家理查德·费曼 (Richard Feynman) 曾经这样形容它： “所有好的理论物理学家都将这个常数贴在他们的墙上，而且冥思苦想…… 它就是物理学中最大的、该死的谜团之一：一个出现在我们面前的无法理解的魔数。”

这个 “魔数” 的起源可以回溯到 1916 年。那时候，量子力学尚未诞生，物理学家们正处于一个被称为 “旧量子论” 的从经典物理往量子力学演进的过渡时期。在那个时期，原子光谱是一个热门研究领域，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔 (Niels Bohr) 的原子模型，即所谓玻尔模型 (Bohr's model)，则是该领域最重要的理论模型，因为它可对某些最简单的原子光谱——尤其是氢原子或所谓 “类氢原子” (hydrogen-like atom) 的光谱——作出定量解释^[注一]。但玻尔模型虽然重要，却也存在一些显而易见的缺陷，其中之一是没有考虑相对论效应。

1916 年，德国物理学家阿诺德·索末菲 (Arnold Sommerfeld) 尝试对这一缺陷进行了弥补。

索末菲的尝试取得了部分成功，比如可对氢原子或 “类氢原子” 光谱中的某些 “精细结构” (fine-structure) 作出粗略描述。正是在对那些 “精细结构” 的描述中，索末菲将几个物理常数的简单组合归并成一个新的常数，用来简化数学表达式。由于这个常数出现在对 “精细结构” 的描述中，因此被顺理成章地称为了精细结构常数。让很多物理学家着迷的所谓 “魔数”，就这样诞生了。从这个诞生过程来说，精细结构常数其实并不玄妙，因为它的初衷只是用来简化数学表达式，它的实质也不过是对几个其他常数——具体地说，是基本电荷、普朗克常数及光速——的归并^[注二]。

但尽管只是对几个其他常数的归并，精细结构常数却有一个不同于那些其他常数的特点，那就是：它是一个纯粹的数字，一个跟物理单位的选择无关的数字——或者用物理学家的术语来说，是一个 “无量纲” 的常数。精细结构常数之所以有魅力，跟这个特点是密不可分的——因为这样的常数在性质上是跟 π 那样的数学常数差不多的。但跟数学常数能从数学上推导或理解不同，精细结构常数却是一个物理常数，它能否像数学常数那样从纯理论的角度进行推导和理解，也因此成了一个很有魅力的悬念。

精细结构常数的魅力还有另外的源泉，比如它可以在数量级甚至精确意义上表示微观世界的很多关系。事实上，从精细结构常数的来源中我们已经知道，它跟光谱中的 “精细结构” 有关^[注三]。此外，它还可以表示氢原子中的电子运动速度与光速的比值，电子的所谓经典半径与量子力学波长的比值，等等^[注四]。另外一个也许更吸引人的方面是，精细结构常数——如前所述——是对基本电荷、普朗克常数及光速的归并，而这几个常数分别代表了电磁相互作用、量子论及相对论。这三个领域的常数归并在一起，不仅大大增强了精细结构常数的魅力，甚至给它蒙上了一层神秘色彩^[注五]。从这种色彩中，索末菲曾不无先见之明地预期，在一个融合了量子论及相对论的电磁相互作用理论中，精细结构常数将会扮演重要角色。他的预期是正确的，因为哪怕从现代物理的视角看，精细结构常数也依然有一层基本含义，即它是电磁相互作用的 “耦合常数” (coupling constant)，描述了电磁相互作用的强度。

精细结构常数的数值下面将会细述，但粗略地讲，它的倒数约为 137，它本身则约为 1/137，从而是一个比较小的数。由于精细结构常数描述了电磁相互作用的强度，因此精细结构常数是一个比较小的数，意味着电磁相互作用比较弱^[注六]。这个特点对物理学有着重要意义，因为对这种比较弱的相互作用，物理学家们有一套行之有效的手段，来进行很高精度的理论计算。如果实验测量也能达到与之媲美的精度，则理论与实验便可进行非常精密的对比。这种对比既能对理论作出检验，也可以对改进理论的可能性作出一定程度的引导和评判。从某种意义上讲，现代物理——尤其是描述微观世界的物理——之所以能成为一门非常精密的科学，跟精细结构常数是一个比较小的数是分不开的。

由于精细结构常数有这样的重要性，同时又是一个跟物理单位的选择无关的纯粹的数，一个所谓的 “魔数”，很多物理学家为之着迷也就不奇怪了。这种着迷的一个主要 “症状” 是试图确定精细结构常数——即试图从纯理论角度推导出它的数值，或赋予这种推导很大的重要性。比如玻尔曾经预期，对精细结构常数的确定将是普遍而自洽的量子理论的组成部分；在缔造了量子力学的那一代 “元勋” 中，维尔纳·海森堡 (Werner Heisenberg) 和保罗·狄拉克 (Paul Dirac) 也持此见。他们先后表示过，除非能确定精细结构常数，否则不太可能构建一个合理的基础物理理论。德国物理学家马克斯·玻恩 (Max Born) 则认为，一个 “完美的理论” 应该能 “不诉诸经验而通过纯粹的数学推理” 推导出精细结构常数。

而在所有量子力学 “元勋” 中，对精细结构常数最着迷的也许要数奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利 (Wolfgang Pauli)。在 20 世纪 30 年代给同事的书信中，泡利认为当时物理学上的一些棘手问题有可能随着精细结构常数的确定而得到解决；在 20 世纪 40 年代发表的诺贝尔演讲中，泡利提出应将确定精细结构常数视为量子场论的目标；直到去世前夕的 20 世纪 50 年代末，泡利对精细结构常数依然极其着迷。泡利的助手查尔斯·恩兹 (Charles Enz) 在替泡利去世后出版的 Pauli Lectures on Physics (《泡利物理学讲义》) 的第一卷 (即电动力学卷) 撰写的序言中提到，泡利病重时，他有一次前往医院探望， “泡利很关切地问我是否注意到他的房间号： 137！”。几天后，泡利在这个房间号很接近精细结构常数的倒数的 137 号病房里去世。

除这几位量子力学 “元勋” 外，为精细结构常数而着迷的还有英国物理学家亚瑟·爱丁顿 (Arthur Eddington)。他并且是这个因着迷而形成的小领域中名头较大的一位，不仅 “入行” 较早，姿态也比较 “激进”。多数着迷者对精细结构常数的着迷是停留在概念层面，即只是对确定精细结构常数有一种泛泛的推重，哪怕有少数人视之为研究课题，投入的精力也很有限，且对结果并不执迷。爱丁顿则不然，非常积极地试图从纯理论角度推导精细结构常数的数值，且对结果不仅执迷，甚至偏执。另一个不同于其他着迷者的地方，是爱丁顿认为精细结构常数的倒数代表着某种 “代数自由度” (algebraic degrees of freedom)，从而必定是整数。 1929 年，爱丁顿提出了一个几乎不知所云的 “理论”，宣称这个整数是 136。不过这一结果即便在对精细结构常数的实验测定还不甚精确的当时，就已不太站得住脚，因为精细结构常数的倒数更接近 137 而不是 136。不久之后，爱丁顿对自己的 “理论” 作出了同样不知所云的修正，将 136 改成了 137。这个数值——作为一个严格的整数——被他坚持到了生命的最后一年： 1944 年。

爱丁顿所坚持的精细结构常数的倒数为 137 这一结果虽然直到他去世为止，也尚不能从实验上直接排除，但他的 “理论” 明显是毫无根基也毫无价值的。即便是对之不无同情的少数物理学家，也大都只是对试图从纯理论角度推导精细结构常数的数值这一大方向有所认同。这一大方向除爱丁顿外，玻恩和海森堡也做过些努力，只是没像爱丁顿那样投入和执迷。所有这些努力有一点是共同的，那就是都失败了。事实上直到今天，物理学家们也依然没找到任何办法，能从纯理论角度推导出精细结构常数的数值——甚至连有希望的思路都没有。

不过，在经历了这么多年后，现代物理学家们对精细结构常数的态度本身也已有了很大的转变，已不再像爱丁顿或泡利时代那样 “死心眼” 了，也不再坚信它的数值能从纯理论角度推导出来，或赋予这种推导很大的重要性了。促成这种转变的一个重要因素，是一种被称为 “多宇宙” (multiverse) 的理论。这种理论提出了一种全新的图景，即一直被理所当然地视为包含一切的 “宇宙” 只是由大量宇宙组成的 “多宇宙” 的一员。在 “多宇宙” 中，像精细结构常数那样的物理常数并没有统一的数值，而是在每个宇宙中有自己的数值。既然精细结构常数在每个宇宙中有自己的数值，那么很明显，在 “多宇宙” 理论中，试图从纯理论角度推导出精细结构常数——乃至一切物理常数——的数值是无意义的研究，因为那数值只不过是我们碰巧处于其中的这个特定宇宙中的特定数值而已，并没有严格的必然性。这就好比从纯理论角度推导地球与太阳的距离是无意义的，因为那距离取决于碰巧形成了太阳系的初始条件，没有严格的必然性。

当然，尽管没有严格的必然性，精细结构常数的数值倒也并非完全随意，因为如前所述，这一常数在数量级甚至精确意义上表示着微观世界的很多关系。因此，精细结构常数的数值如果有所改变，微观世界的很多关系也会发生变化。物理学家们早就注意到，这种变化一旦显著到一定程度，像我们这样的生命就会无法存在。因此，尽管精细结构常数的数值只不过是我们碰巧处于其中的这个特定宇宙中的特定数值，但这个 “我们碰巧处于其中” 的宇宙却不是完全任意的，而必须是一个允许我们这种生命存在的宇宙。这一特点其实也跟地球与太阳的距离有一定的可比性，因为那距离虽取决于碰巧形成了太阳系的初始条件，但那 “初始条件” 却不能是完全任意的，否则地球上的环境将不会允许我们这样的生命存在。不过这种被称为 “人择原理” (anthropic principle) 的限定是粗糙的，并不足以重圆从纯理论角度推导精细结构常数的数值之梦。因此总体来说，随着 “多宇宙” 这样的理论的兴起，物理学家们已不再有很强的理由，能像爱丁顿或泡利时代那样，认为精细结构常数能从纯理论角度推导出来，或赋予这种推导很大的重要性。

既然从纯理论角度推导精细结构常数的数值并不成功，甚至有可能是无意义的研究，那么实验测量作为深入探究这一常数的途径，就获得了更为凸显的重要性。幸运的是，在这个领域里，物理学家们交出的成绩非常漂亮——且越来越漂亮。在过去上百年的时间里，物理学家们追求高精度测量的努力，如同不断刷新记录的马拉松比赛。 2018 年底，物理学家们发布了相对误差仅为一百亿分之二的测量值，测得的精细结构常数的数值为 1/137.035999046；两年后——也就是 2020 年底，这一记录被再次刷新，法国巴黎的一组研究者得到了数值为 1/137.035999206 的最新测量结果，相对误差仅为一千亿分之八^[注七]。这样的精度相当于将从北京到上海的距离测定到误差仅为 0.1 毫米！

这种高精度测量的意义何在呢？尤其是，如果精细结构常数的数值不能从纯理论角度推导出来，从而不能进行理论与实验的直接比较，这样的高精度测量还有意义吗？答案是肯定的。事实上，对基础物理理论的验证并不像很多人想象的那样，是对一个个理论计算的结果进行相应的实验测量，然后作出直接比较——就像对一个个孤立靶子上的成绩进行直接读取那样。对基础物理理论的验证其实更像一张网，结点代表着可以理论上可以调节的东西——比如像精细结构常数那样的物理常数，网线则代表那些东西之间理论上千丝万缕的联系。由于这种联系的存在，任何一个结点的移动都会牵扯到其它结点，因此哪怕实验不能在某个结点上跟理论直接比较，依然有可能通过这种牵扯对那个结点产生约束。实验的精度越高，涵盖的方面越多，就会将网拉得越紧，对每个结点的约束也就越强。如果网能够经受住这种拉紧的状态，理论就算通过了实验的检验。当然，也完全有可能在某个时刻，网被拉破，需要全部或部分重织，那往往就是新理论诞生的契机。

就目前的基础物理理论而言，跟精细结构常数有关的是描述微观世界的所谓粒子物理 “标准模型” (Standard Model)。这个模型的描述范围涵盖了迄今所知的一切微观粒子，总体而言是非常成功的^[注八]。但尽管如此，物理学家们仍提出了很多新理论，试图超越这一模型。相对于这一模型，那些新理论都需要引进一些其它参数。那些参数的数值则必须由实验来约束，而实验的精度越高，约束的作用就越大，甚至有可能直接排除某些新理论。因此，进行高精度测量，其中包括对精细结构常数进行高精度测量，不仅是对标准模型的检验，也是对各种超越标准模型的新理论的考核，其重要性是很难被高估的。

至于在这种检验中，物理学家是更希望标准模型得到证实还是遭到推翻？答案也许是分歧的，但我猜绝大多数物理学家会更喜欢后者。著名美国物理学家史蒂文·温伯格 (Steven Weinberg) 曾在一次访谈中表示，如果未来的实验不能发现任何契机使我们超越标准模型，物理学家们将会看着自己的脚尖，茫然不知所措。说得一点不错，跟某些其他领域的抱残守缺相反，真正的科学家是骨子里就钟爱未知和奥秘的，因为科学的动力，科学的真谛就是期待未知，追索奥秘。因着这个缘故，我们要为每一次高精度的实验测量喝彩，无论它是关于 “魔数” 还是其他。

注释

所谓 “类氢原子”，是指核外只有一个电子的原子，比如 He⁺， Li²⁺， Be³⁺，等等，它们的光谱结构是最简单的。但别小看这些 “最简单的原子光谱”，它们虽然简单，却不是经典物理能够解释的。从这个意义上讲，玻尔模型虽很快就暴露出各种问题，且在十几年后就被量子力学所取代，在当时却是革命性的。
更具体地说，精细结构常数在高斯单位制 (Gaussian units) 下可表示为 e²/ℏc，其中 e 是基本电荷， ℏ 是 “约化普朗克常数” (reduced Planck constant)——即普朗克常数 h 除以 2π， c 是光速；在国际单位制 (SI units) 下则为 e²/4πε₀ℏc，其中 ε₀ 是真空介电系数 (vacuum permittivity)。
具体地说，精细结构常数跟光谱中的 “精细结构” 的关系是这样的： “精细结构” 对应的能级差与普通光谱对应的能级差之比的数量级为精细结构常数的平方。
当然，这些比值往往带着 “旧量子论” 时期的色彩，不过精细结构常数的魅力也正是起源于这一时期。
作为 “神秘色彩” 的例子，一些早期探索者曾经设想，如果我们能理解——尤其是如果能从纯理论角度推导出精细结构常数的数值，就等于在基本电荷与普朗克常数之间建立了联系，也就等于在不无神秘色彩的电荷量子化与能量量子化之间建立了联系。这种设想甚至在精细结构常数被索末菲引进之前就已出现了，所依据的是 e²/c 与 h 同一量纲这一事实。索末菲去世后，德国物理学家马克斯·玻恩 (Max Born) 在其撰写的索末菲讣告中也提到了精细结构常数能在基本电荷与普朗克常数之间建立联系。他并且据此认为，理解精细结构常数的数值是未来物理学最基本的问题之一。
这个所谓的 “比较弱” 是通过耦合常数的大小来判断的，是在基础物理理论的层面上定义的，跟巨型电磁铁可以吸起成吨的钢材那样的强大力量并不矛盾。一个与之相仿的例子，是引力相互作用——按类似的定义——甚至比电磁相互作用还弱得多，但天体可以有极强的引力场。
这里有必要补充说明一点，即精细结构常数作为电磁相互作用的耦合常数，它的数值其实跟测量涉及的能标有关，这里介绍的高精度测量所给出的都是低能极限下的数值。另外，内行且超级细心的读者也许能发现，这里所引的两组迄今最高精度的测量值彼此间其实是稍有些不相容的，这种不相容已引起了做出那两组测量的两个实验组的注意，并正在进行核验。
既然加了 “总体而言” 这一修饰，就意味着不是完全彻底。事实也确实如此，因为迄今为止，粒子物理标准模型在个别地方跟高精度的实验尚有一定出入，一个著名例子是所谓的 μ 子反常磁矩之谜。

2020 年 12 月 23 日完稿
2021 年 1 月 23 日发布
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