对于两个非对易算符，比如我们取N*N的函数矩阵A(x).B(x),共同作用到一个初始向量v(x_0)上，这种共同作用可以等价的利用一个矩阵G(x)表示，那么G(x)如何利用A(x).B(x)或者两者的导数及其它们的对易子来描述，因为是作用到矢量上，所以结果肯定不唯一，如果选择一个初始矩阵，那么结果一般会是唯一的。
不知道诸位大神有没有做过类似的问题，希望不吝赐教

没有人对这个问题感兴趣？或者是觉得没什么意义？
好吧，我先说两点，看看各位有什么看法
一：物理中经常以矢量场作为研究对象，用群元作用到矢量场上，这里就会遇到这样的问题，如果矢量场自身不是不变的，其变化可以用比如函数矩阵A(x)与一个初始矢量描述，这样直接将一个群作用比如表示矩阵B(x)作用到矢量场上，本质上就是认可矩阵B(x)*A(x)v(x_0)可以描述这个物理过程，但是这么做显然就忽略了两个矩阵之间的非对异性，
我认为我们为什么不能很好的处理非惯性系，应该与这个有关
二：如果我们知道一个矢量场比如一个速度场v(x),以及一个相互作用，因为我们无法确定矢量场的运动是由于比如是力的作用还是由于参照系的转动而导致的，所以我们就无法确定相互作用与矢量场之间的关系，所以最终我们本质上不能得到一个确定的末状态矢量，也就是同样的矢量场同样的相互作用却可能得到不一样的结果，

这两个很简单的想法，不知道各位有什么看法，希望能交流交流

也许是你对问题的表述不够规范，即使在你补充说明之后，我还是不明白你在说什么，所以不好回答。不知其他人是否也是如此。

可能吧，因为缺乏具体的物理图景，可能我所说的一些概念的理解不是那么容易吧，那我具体点说吧：
对于一个惯性系有coordinate axes e^µ,对于一个非惯性系我们有basise e'^µ,
对于一个矢量我们往往有v_µ*eˆµ=v'_µ*e'ˆµ 如果eˆµ=B*e‘ˆµ 我们应该有v'_µ=v_µ*B，
如果矢量分量v_µ可以用初始矢量v(0)*A表示，A是矩阵，那么e'^µ参照系中的观者测得的分量似乎应该是
v(0)*A*B，
如果我们将矩阵A ,B 用类似于构造李群的方式写成一些无穷小变换的连积，那么我们可以构造这样一个矩阵
G_n=A(δθ(x_0))B(δφ(x_0))A(δθ(x_1))B(δφ(x_1))⋯A(δθ(x_n))B(δφ(x_n))A(δθ(x))B(δφ(x) 这里n个点x_1，x_,2，⋯x_n等分[x_0.x]
对G_n求极限得到矩阵G
那么你认为v(0)*A*B，与v(0)*G哪个才应该是非惯性系中的观者测得的矢量的分量？
当矩阵A。B对易两者显然等价，但是两者不对易，区别也是显然的
这样的表述不知道能理解不？

晕死，这么说还没人能理解吗？好吧，看来我表述的可能真的不是很清楚，那我通过一个简单的例子来说吧，
如果一个人向前走是一个作用A，一身体为轴转动是作用B，那么我只是强调作用v_0（A*B）只是表示这个人先向前运动后转动，如果物理过程是两个作用同时存在，那么也就是说这个人一边向前运动一边主动，那么我们如何用A.B 来描述这样的一个运动，

我们要描述这样的作用可以这么做，我们先向前走一段然后转动一个小的角度，再前进。。。这样如果每次的前进的长度和转动的角度趋于0，则可以描述两种作用同时作用的结果。
这个结果如果A。B不要对易显然不等同于AB，但是如果我们以V_0作为初始矢量，V_0*A=V作为一个矢量场描述A作用的，那么B作用到V上无非还是描述先向前后转动的操作，显然不能表示AB同时作用，所以如果真实的物理是两种作用同时作用的，那么我们显然不用简单的将B作用到矢量场上来描述，
这个问题如果归结为一个数学问题的话无非就是对于一个初始矢量V_0, A.B 是两个非对易的作用，那么AB同时作用的结果如何用A。B及其对易子来描述，其实问题的关键无非是A*B在数学上来说表示先A作用后B作用，两个共同作用的结果由于非对异性的存在一般不能用A*B这样来描述，、
把这种想法贯彻到非惯性系中，比如转动的参照系中的受力的粒子
那么是速度增量∆v与速度转动R这两种作用那么( v_0+∆v)R与v_0*R+∆v一般不相等表明了两者之间的非对易性，所以我们不能简单易( v_0+∆v)R来描述这时候的速度场，就会有很多有趣的东西

我想这么说应该可以理解吧

看得太费劲，整不明白。如果能像曾经一度存在的新繁星客栈那样，能编辑公式就好了。

“对于一个矢量我们往往有v_µ*eˆµ=v'_µ*e'ˆµ 如果eˆµ=B*e‘ˆµ 我们应该有v'_µ=v_µ*B“，
------------------------
这句话里“如果eˆµ=B*e‘ˆµ ”一般是不成立的，别说是惯性系与非惯性系之间，即使是两个惯性系之间的坐标变换，其变换公式也不是这样表达的。

你的疑问多半是你在某个地方理解错误。