2. 什么是希格斯机制

我们先从标准模型中一个最关键的问题说起，那就是基本粒子质量的起源。对这个问题的探索几乎是随着基本粒子的发现同时开始的。比如，围绕电子的质量就曾经有过很多早期的尝试。标准模型本身对这个课题提出了新的问题。这不仅仅是因为诸多新的不同质量的粒子存在，更深刻的问题起源于标准模型中的粒子相互作用所具有的对称性。

对称性在物理学中有着至关重要的地位。它的存在很大程度上决定了相互作用的形式。标准模型中的弱相互作用也不例外。夸克和轻子都是自旋为1／2的费米子。量子力学告诉我们每一个费米子都有两个自旋极化自由度±1／2。我们可以取粒子的运动方向为极化轴。极化为＋1／2 和－1／2的费米子分别被称为是“右手”的和“左手”的。而弱相互作用的对称性决定了只有左手的夸克和轻子可以有弱相互作用。 如果我们考虑将一个对象转换为其镜像的变换，称为宇称变换，左手和右手的极化在宇称变换下互换。这意味宇称在弱相互作用下是不守恒的。这正是李政道和杨振宁提出的著名的宇称不守恒。



如果我们进一步思考，就会发现这里有一个让人十分疑惑的地方。标准模型中的所有的夸克和轻子都是有质量的。对于有质量的粒子而言，自旋的极化是左手还是右手并不是一个洛伦茨不变量。这一点可以如下理解：有质量的粒子的运动方向在洛伦茨变换下是可以反转的。所以在一个参考系的存在弱相互作用的左手粒子在另一个参考系可以是不存在弱相互作用的右手粒子，如图1所示。因此，相对论或者说洛伦茨对称性和弱相互作用的对称性在有质量的粒子身上不可能同时适用。

洛伦茨对称性经受住了不计其数的实验验证，它不可能在这里出问题。然而弱相互作用的对称也确切地限定了理论的形式。解决这个似乎是矛盾的问题的出路来源于物理学中另外一个重要的基本机制：自发对称破缺。这个机制的中心思想是物理体系的状态不需要具有动力学方程相同的对称性，或者说，量子力学基态在对称性变化下可以是不对称的。对于基本粒子物理学而言基态就是真空态。任何粒子都是基于真空态上的激发态。把自发对称破缺运用到弱相互作用完美地解决了我们面临的问题。经过自发对称破缺, 真空不再保持弱相互作用的对称性。而基本粒子， 诸如夸克和轻子，作为真空上的激发态，也不必保持弱相互作用的对称性。因此，它们可以有质量而且符合洛伦茨对称性。

传播弱相互作用的粒子，W和Z，也是有质量的基本粒子。它们的质量的物理效应体现在弱相互作是短程力， 力程是W或Z的de Broglie波长（反比于它们的质量）。 和标准模型的费米子类似，它们的质量也来源于如上描述的自发对称破缺。但是，由于它们是自旋为1的所谓的矢量波色子，它们的质量起源的具体机制有所不同。要深入的理解这一点，我们必须先进一步讨论自发对称破缺。这个破缺机制不仅仅是赋予真空态特殊的性质，它还预言了一类新的粒子的存在。对于每一种自发破缺的对称性（更准确地说是连续对称性），都会存在一个自旋为零的无质量的粒子，被称为Nambu－Goldstone 波色子。自发对称破缺和Nambu－Goldstone 波色子在很多物理体系中存在。 这方面的一个著名的例子是超流现象（superfluidity）。但这似乎又为标准模型带来了新的问题，我们并没有在实验上观测到这样的粒子。解决这个问题的关键在于有质量的和无质量的矢量波色子之间的区别。无质量的矢量波色子有两个极化自由度，或者说是“横波”。我们最熟悉的例子是光子，只有两种可能的横向偏振。但是有质量的矢量粒子（如W和Z）就不同，它们必须同时有3个不同的极化自由度，既有横波又有纵波。我们自然会问，W和Z，作为和光子自旋相同的矢量波色子，究竟是如何多“得到”一个自由度而成为有质量的呢？巧妙的是，这个多出来的自由度恰恰正是对称自发破缺后产生的Nambu－Goldstone波色子。在这里，这个Nambu－Goldstone波色子并不是一个独立的粒子，而是成为了W或Z的一部分（第三个自由度）。这当然也同时解释了为什么实验上观测不到单独存在的Nambu－Goldstone波色子。 从这个角度理解，光子质量为零正是因为电磁相互作用的对称性没有被自发破缺，因此不存在Nambu－Goldstone波色子可以为光子提供具有质量必需的第三个自由度。我们这里解释的正是著名的希格斯机制。希格斯机制是于1964年由 F. Englert, Brout [4], P. Higgs [5]，以及 Guralnik, Hagen, Kibble [6] 分别独立提出的。这个机制被 S. Weinberg 发展，成为标准模型的重要部分，解释了所有基本粒子的质量的起源 [2]。

值得指出的是，希格斯机制其实存在于很多物理体系和过程当中，远远超出基本粒子的范围。一个最重要的例子是BCS超导体。在处于超导态的超导体内部，Cooper对机制导致电磁相互作用的对称性自发破缺。光子获得质量。这个现象体现在外界磁场不可能深入BCS超导体内部， 就像弱相互作用是短程力一样。这被称为Meissner效应。

参考文献
[1] S.L. Glashow (1961). "Partial-symmetries of weak interactions". Nuclear Physics 22 (4): 579–588.

[2] S. Weinberg (1967). "A Model of Leptons". Physical Review Letters 19 (21): 1264–1266.

[3] A. Salam (1968). N. Svartholm, ed. "Elementary Particle Physics: Relativistic Groups and Analyticity". Eighth Nobel Symposium. Stockholm:Almquvist and Wiksell. p. 367.

[4] F. Englert and R. Brout (1964). "Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons". Physical Review Letters 13 (9): 321–323.

[5] Peter W. Higgs (1964). "Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons". Physical Review Letters 13 (16): 508–509.

[6] G. S. Guralnik, C. R. Hagen, and T. W. B. Kibble (1964). "Global Conservation Laws and Massless Particles". Physical Review Letters13 (20): 585–587.

图文并茂

在内容上，暂时还没有超出我过去的认知。我看科普，有时能从里面得到一些新的、以前没有意识到或者理解到的东西

星空兄基础不错。

其实这里的东西虽然简单，而且很多别的地方也提到过。但是误解却不少。

比如说，有没有注意到到此为止我都没有提到Higgs粒子。这是为什么？为什么我们需要Higgs粒子？如果没有看过下文的朋友可以想一想。试着解释一下。自己想出来获益更多。

顺便说一下，“为什么我们需要Higgs粒子”是我考核研究生的入门问题。

惭愧，我是通过边看边引起回忆，与记忆中对比。

连涛兄的问题，会让我入门关过不了的:-)

瞎猜一下，会不会是这样：由于
对称破缺生成元数量=Goldstone粒子数=获得质量的规范粒子数；
保持对称生成元数量=获得质量的Higgs粒子数=保持真空不变的生成元数。

因此，为了让光子保持无质量，就得需要有质量的Higgs粒子？

偶觉得大概是这样，人们从实验推测弱相互作用的中间玻色子有静止质量。而规范对称性禁止中间玻色子静止质量。标量场自发对称性破缺可以产生静止质量的玻色子，但同时预言了无质量的Goldstone玻色子。另一方面，矢量场规范变换可以消掉Goldstone玻色子，同时让规范场得到质量。合并两者，大工告成。我们把引进的标量场叫做Higgs玻色子。

人们曾经考虑过诸如technicolor等其他机制，但似乎被LHC排除了。

连涛兄在此特别点出“为什么我们需要Higgs粒子?”这个问题的重要性，看来我在读完全文后在(1)的跟贴评论中总结的“本文中心思想”还是对路的。

两位网友的回答似乎都没有进入正确的轨道，在此利用读过全文的优势为连涛兄扮演一下助教的角色，批改一下“回家作业”。此题的正确答案应该是：

假设一个不带电荷的自旋为零的标量玻色子(Higgs粒子)存在，只是Weinberg和Salam在构筑弱电统一的量子场论过程中，在实现BEH机制(旧名为Higgs机制)众多可能的数学模型中选择的最简单一种。这个标量场模型来自与凝聚态物理中描述相变过程临界现象的Landau-Ginzburg理论之巧妙类比，自发性对称破缺其实可以看成是一个相变的过程。相变后系统的基态是一个Bose-Einstein凝聚(BEC)，弱电规范场在SU(2) x U(1)经历了该相变(对称性破缺)之后，四个自由度中的三个与W+，W-，和Z玻色子发生混合，而剩下的一个自由度就成为Higgs玻色子。至于Weinberg-Salam理论中另一个无质量玻色子---光子(自旋为1的矢量玻色子)在对称性破缺后的产生细节讲起来略显复杂，可以参考网上资料的介绍。

外行议论下：花这么大气力不是为了解决质量起源问题吗？当然质量起源问题还不是这么好解决的。

虽然我有写一篇文章讲Higgs机制，但是也没有自己思考过。我想，可能是把Higgs场构造成二分量旋量以后，四个实分量不可能全为零，因为Higgs场必须有势能项，如果Higgs粒子也没有质量，Higgs场岂不是没有势能了？所以没有势能项怎样破缺？所以，最多产生三个Goldstone粒子，用来平衡W+,W-和Z增加质量的三个自由度。而另一个Higgs粒子必须是有质量的，这样，光子必然无质量。（当然，四个玻色子耦合了一下。）所以上面星空说得没有错，只不过反过来，是因为需要一个有质量的Higgs,才导致光子必然无质量（否则自由度不够）。不知道这样的理解对不对？

上面说得不是很确切，应该说，HIggs场必须有质量项，因为自相互作用项必然大于零，需要靠质量项才能产生墨西哥帽的势能。而Higgs场的质量项在选择一个具体真空的时候，必然转换成某个分量的质量。这个分量就是HIggs粒子，而势能沿剩下的三个对称的自由度跃迁则产生三个无质量的Goldstone粒子。

上面说得不是很确切，应该说，HIggs场必须有质量项，因为自相互作用项必然大于零，需要靠质量项才能产生墨西哥帽的势能。而Higgs场的质量项在选择一个具体真空的时候，必然转换成某个分量的质量。这个分量就是HIggs粒子，而势能沿剩下的三个对称的自由度跃迁则产生三个无质量的Goldstone粒子。
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这个质量是负的，不是希格斯粒子的质量。

外行议论下：花这么大气力不是为了解决质量起源问题吗？当然质量起源问题还不是这么好解决的。
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可以把它说成是质量起源的问题。这里涉及到的是标准模型中quark，轻子，以及W／Z粒子的质量。

其实大家都没有回答到点子上。我来把问题在说得清楚一点。

如果我们已经引入SU(2)二重态的标量场，Mexican hat也好，Landau－Ginzburg 也好，Higgs的存在只是一个数自由度的问题。复二重态有4个自由度。标准模型有3个有质量的矢量波色子，需要“吃”掉3个Goldstone。所以，在二重态里还剩一个，就是Higgs boson 了。大多数书上也都是这么解释的。但是这样的理解是比较肤浅的。

问题是，如果我们把时钟倒回到Higgs粒子发现之前，我们只需要描述3个有质量的矢量波色子，也就是说只需要3个Goldstone。为什么我们要引进二重态标量场，从而多引进一个自由度呢？这个只有3个Goldstone的Langrangian是可以写出来的。所有该有质量粒子在这里都是有质量的。所以说说Higgs粒子给了别的粒子质量严格上讲是错误的。问题是这个没有Higgs Boson的理论有什么问题？后来被发现的Higgs粒子又起了什么作用。

这个质量是负的，不是希格斯粒子的质量
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Higgs场的质量不是负的，是虚数的。当选定一个真空，这个虚数的质量必须实化到一个具体的粒子上，所以Higgs，其实还是自由度的问题，如果Higgs粒子没有质量，就少了一个自由度。

外行议论下，这是不是因为Nambu-Goldstone机制必须需要一个真空平均值不为0的算符？从Goldstone定理的证明中看出，假设Q是需要破缺的守恒流算符的积分荷算符，则需要一个算符φ，与Q同属同一个不可约表示。并且<0|[Q,φ]|0>非0，这是Goldstone定理的条件，而且规范群的G作用于φ真空平均值不变的是剩下的非破缺群。弱电的情况，Q生成Goldstone粒子，Qφ同属一不可约表示，就是这个复二重态，Higgs粒子是φ的位置。

改正：Higgs场加上真空平均值才是φ算符

原来连涛兄另有玄机，好的科普都有作者本人的独到认识或者理解，从而让读者从中学到新东西，哪怕读者是专业人士。


这个只有3个Goldstone的Langrangian是可以写出来的。所有该有质量粒子在这里都是有质量的。所以说说Higgs粒子给了别的粒子质量严格上讲是错误的。
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连涛兄这儿的讲解我仍然有点困惑：

1）例如在弱电统一理论中，涉及四个规范场（其中三个获得质量），此时Higgs场至少有四个实分量吧。例如用二分量复场，对应SU(2)的二维表示。

3）你说可以采用只有3个Goldstone的Langrangian，意思是三个实分量的Higgs场？此时对称群对应SO(3)，生成元3个，此时破缺真空对称的生成元是两个（从而可让两个规范场获得质量），一个保持零质量，于是仍然存在Higgs粒子的存在？

>外行议论下，这是不是因为Nambu-Goldstone机制必须需要一个真空平均值不为0的算符？
good point。原来发现不能修改帖子就没想纠正自己的说法。如果写下D^{mu} phi^{*} D_{mu} phi - 1/4 F_{mu nu} F^{munu} - V(phi^* phi) 的作用量，可以看出gauge field的mass对应<phi>。

1）例如在弱电统一理论中，涉及四个规范场（其中三个获得质量），此时Higgs场至少有四个实分量吧。例如用二分量复场，对应SU(2)的二维表示。
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为什么Higgs场的分量数一定要和规范场的个数相同？

>外行议论下，这是不是因为Nambu-Goldstone机制必须需要一个真空平均值不为0的算符？
good point。原来发现不能修改帖子就没想纠正自己的说法。如果写下D^{mu} phi^{*} D_{mu} phi - 1/4 F_{mu nu} F^{munu} - V(phi^* phi) 的作用量，可以看出gauge field的mass对应<phi>。
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需要<phi>neq 0 并不等于说phi会代表一个新的粒子。尽管可以写下 <phi> + δphi, 但是δphi不一定是一个粒子。

场论中的粒子的含义是窄的共振态(narrow reosonace). 或者收，粒子的质量远大于粒子的宽度。如果不是这样，那么“粒子”的相互作用很强，以致于粒子本身并不是一个well defined的东西。熟悉QCD的朋友可以参考那里所谓的σ resonance。

标准模型里所有的基本粒子， 包括新发现的Higgs boson，都是这个意义上的粒子。
问题是如果只想给标准模型中的粒子质量，这样的一个Higgs boson是不需要的。

大家可以试一下这个练习

希格斯场可以表示为

H=(v+h) exp(i π/v)
v=VEV, h=Higgs boson, π 有三个，是to-be-eaten Goldstone。
接下来可以将其代人SM Langrangian得到所有的质量项。这是所有的教科书上都有的。
问题是，我可以去掉h，从
H=(v) exp(i π/v)
出发，仍然可以得到所有的粒子的质量，也不违反规范对称性（为了方便起见，姑且先称为symmetry). 可见质量起源是不需要h的。

那么，h在标准模型中起了什么作用呢？

补充一点，这个从

H=(v) exp(i π/v)

出发的Lagrangian 就是我前面说的只有3个Goldstone而没有Higgs boson的Lagrangian。有时叫chiral Lagrangian 或者叫non-linear realization.

这个给Gauge boson 质量的方式叫Higgs Mechanism。 但是，Higgs mechanism 并不一定需要有Higgs boson。例如，在Meissener effect中，光子通过Higgs mechanism获得质量，而那里却没有相应的Higgs boson。

不是不是，我不同意。刚才算了一下，没有h只有v确实可以使得规范场产生质量项，因为质量项是1/2g^2v^2AA, 里面没有h. 但是问题在于，H=(v+h) exp(i π/v)这个是从原始的Higgs场的拉氏量来的，而原始Higgs场的拉氏量里有质量项（虚数质量），选定一个真空之后，在选定真空上的激发必须回归到原来的Higgs场上去。这个只需要观察平移后（选定真空后）的拉氏量即可。可以看到，在选定真空后的拉氏量里，h和v是耦合的。如果没有h, 则平移后的Higgs场不仅没有h, 甚至连v也没有了，不信你带回去试一试。平移后的拉氏量里出现v的两项都是和h有耦合的,一个是v^2h^2, 另一项是vh(h^2+g^2),也就是说，真空期待值是和平移后Higgs场耦合在一起的。如果没有h, 则平移后的拉氏量只剩下goldstone场的动能项，而没有了真空期待值v. 这样一来，规范场的质量项也无从谈起了。

>那么，h在标准模型中起了什么作用呢？

如果手工去掉h会改变Yukawa interaction的形式，可能会在散射实验看出来？

基本上涉及Higgs boson的coupling似乎都会受影响

1）例如在弱电统一理论中，涉及四个规范场（其中三个获得质量），此时Higgs场至少有四个实分量吧。例如用二分量复场，对应SU(2)的二维表示。
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为什么Higgs场的分量数一定要和规范场的个数相同？
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如果Higgs场只有三个分量，那么涉及到的真空对称破缺，是否可以做到“完全破缺”——即Higgs场只有三个分量时，破缺生成元能否达到三个？没有保持真空仍然不变的小群存在？（我忘了是不是“小群”这个概念，姑且用之）。

例如在三维的内部空间，让其中一个坐标轴穿过真空所在的那一点，那么绕此轴的旋转变换，维持真空不变。

基本上涉及Higgs boson的coupling似乎都会受影响
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这有什么问题吗？我在问没有Higgs boson的标准模型在理论上讲有什么问题。你的回答是Higgs boson的coupling会有影响？

没有Higgs boson当然不会有Higgs boson的coupling。但是从H=v exp(i π/v) 出发，所有的质量都和标准模型是一样的。问题是这样一个没有Higgs boson的理论在理论上有什么问题，这样才能理解Higgs boson的真正作用。

不是不是，我不同意。刚才算了一下，没有h只有v确实可以使得规范场产生质量项，因为质量项是1/2g^2v^2AA, 里面没有h. 但是问题在于，H=(v+h) exp(i π/v)这个是从原始的Higgs场的拉氏量来的，而原始Higgs场的拉氏量里有质量项（虚数质量），选定一个真空之后，在选定真空上的激发必须回归到原来的Higgs场上去。
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你在书上看懂了这一种作法就认为这是唯一的作法了？
是什么第一性的原理决定了你的出发点才是“原始Higgs场的拉氏量”？为什么不能换一个出发点，直接从H=v exp(...) 出发呢？

你先引进Higgs complex doublet H, 然后再写下L＝... + V(H)， V(H) 是Mexican hat，再求极值，再展开。这当然可以。但是我要问的是为什么必须这么作。

我可以换一个出发点，从 H＝v exp(i π/v) 开始， 我的Lagrangian根本不需要V(H). 这样的一个Lagrangian给所有的粒子和标准模型一样的质量。有什么不对的地方？

如果Higgs场只有三个分量，那么涉及到的真空对称破缺，是否可以做到“完全破缺”——即Higgs场只有三个分量时，破缺生成元能否达到三个？没有保持真空仍然不变的小群存在？（我忘了是不是“小群”这个概念，姑且用之）。

例如在三维的内部空间，让其中一个坐标轴穿过真空所在的那一点，那么绕此轴的旋转变换，维持真空不变。
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确切的说，我说的情况是一个VEV加上3个Goldstone。 出发点是H＝v exp (i π/v).

去掉φ的话BRS变换就不再不变了，Ward-高桥恒等式没了而且不可重整了，是这个原因么？猜的

这有什么问题吗？我在问没有Higgs boson的标准模型在理论上讲有什么问题。你的回答是Higgs boson的coupling会有影响？
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我听说Higgs玻色子在对massive YM理论的可重整性证明中起到了至关重要的地位，但我不清楚具体作用是什么。如果破坏了可重整性，意味着没有Higgs boson的理论类似于psi^4，在高能标会出现新的物理

去掉φ的话BRS变换就不再不变了，Ward-高桥恒等式没了而且不可重整了，是这个原因么？猜的
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我听说Higgs玻色子在对massive YM理论的可重整性证明中起到了至关重要的地位，但我不清楚具体作用是什么。如果破坏了可重整性，意味着没有Higgs boson的理论类似于psi^4，在高能标会出现新的物理
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两位说的有点接近主题了。但是
1）从 H= v exp(i π/v) 出发的Lagrangian，虽然没有Higgs boson，但却有完整的规范对称性。
2）不可重整性本身并不是问题。 象Coast说的那样，只是高能标会有新物理。

这个问题的理解其实可以比较直观，Higgs boson的作用也很清楚。在具体说之前，我还是先把下一部份贴出来再说。