（为了醒目，我把回复作为新帖子发在这里）

形式算术系统既一致又完全的一个例子：把所有真命题全部都取为公理。不过这个时候，公理集不是递归集
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快刀兄的说法可能存在以下几个问题：

公理集合应该是彼此独立的真命题集合，即其中的某个公理不能由其他公理推导得出来。对于一个已经构造好得公理系统，要把新的真命题添加进去扩大原来的公理系统，这意味着新的真命题在原来的公理系统中，是不可证明的(否则它就可以由原来的若干公理推导出来，这样它就不与原来的公理独立，不能作为新的公理补充进去）。

但是，为了“把所有（相互独立的）真命题全部都取为公理”，如何去找这“所有的真命题”呢？上面说过，我们无法利用已知的公理系统出发去发现（即不存在一个递归过程诱导出新的独立的真命题）。对于一个已知的公理系统，它面临的不可证明或不可判定的命题A，从物质世界的角度来看，A与非A可能都是真命题，只是分别在不同场合下适用。比如几何中的平行公设，肯定它得到欧氏几何，否定它得到非欧几何。另一方面，不可判定命题A和非A从物质世界的角度来看，也许都是不成立的，也许只有一个成立，这样从物质世界的角度来看，A和非A是否是真命题就比较复杂。当然，从逻辑学的角度看，把不可判定命题A或非A作为新的独立公理补充进来之后，只要新的公理系统仍然具备一致性就可以了，就可以认为不可判定命题A或非A可以当作真命题。
但问题仍然是，如何才能保证找到“所有的真命题”呢？所以快刀兄所说的方案可能现实中行不通。

此外，在我的记忆中（不一定准确），记得《GEB——一条永恒的金带》一书中提到过，即使试图“把所有（相互独立的）真命题全部都取为公理”，哥德尔定理仍然成立。比如：假定在原来的公理系统M中存在这样一个不可判定命题：
“我在M中不可判定”
如果你试图通过增加新的公理q，从而扩大M到(M＋q)来解决这个问题，哥德尔仍然可以构造以下不可判定命题：
“我在(M＋q)中不可判定”

::公理集合应该是彼此独立的真命题集合，即其中的某个公理不能由其他公理推导得出来。

这是公理的独立性，但这个性质不是必要的。一个形式系统一定要满足一致性（即不能推出矛盾）和可靠性（即可证的都是真的），最好也能满足完全性（即真的都是可证的）。如果满足公理的独立性那就更好，这样这个系统就比较简洁，但不满足独立性也无所谓

::但是，为了“把所有（相互独立的）真命题全部都取为公理”，如何去找这“所有的真命题”呢？

是的，我们可能永远也无法找到所有的真命题。（因为由所有真命题组成的公理集不是递归的，所以任意给出一个命题，并不存在一个算法确定它是否是真命题）
但这并不能否认存在着由所有真命题组成的集合，如果我们把这个集合作为公理集，那么这个系统就是完全的（我们无法把这个系统具体地写出来，只是知道存在着这样一个系统）。

::A与非A可能都是真命题，只是分别在不同场合下适用。

是的。
形式算术系统是对算术进行形式化后得到的，但对它也可进行别的解释（不一定解释为算术），所有有些公式在不同的解释下可以取不同的真值。
哥德尔定理不完全定理的“不完全”实际上是指：在一致的形式算术系统中，最少存在一个闭公式，它以及它的否定都是不可证的。这里根本没有涉及到真假的概念。哥德尔定理通常又表示为“存在着不可证的真命题”，这是因为对某一特定的解释来说，任一闭公式和它的否定这两者中必有一个是真的。
我上面说的真命题的集合，指的是将它们解释为算术时的真命题。

::即使试图“把所有（相互独立的）真命题全部都取为公理”，哥德尔定理仍然成立。

这是不对的。

::如果你试图通过增加新的公理q，从而扩大M到(M＋q)来解决这个问题，哥德尔仍然可以构造以下不可判定命题：“我在(M＋q)中不可判定”

如果公理的哥德尔数集不是递归的，就无法构造上面这个命题。
哥德尔在证明不完全定理的时候，先对形式公式进行编码（即每个公式赋予一个哥德尔数），将形式公式间的关系转变为算术命题，再将这些命题在形式系统中表达出来。这里的表达不仅仅是将算术翻译到形式系统中去，还有更进一步的要求。如果一个公式的集合的哥德尔数集不是递归的，那么这个集合在系统中就无法表达。所以在公理集是非递归的时候，上面那个命题就无法在形式系统中构造出来。

::这是公理的独立性，但这个性质不是必要的。

因为公理的独立性不是本质的，它不影响形式系统的推导能力。

::即使试图“把所有（相互独立的）真命题全部都取为公理”，哥德尔定理仍然成立。

把所有真命题都取为公理，这时候这个系统是完全的。
但哥德尔定理依然成立，因为它说的是公理集为递归集的一致的形式算术系统是不完全的，那些公理集为非递归的系统不在它的考虑之中。

快刀兄说得有道理。这个话题如果继续深入下去，就超过了我目前的记忆范围。以后有时间复习、钻研之时，再看有什么需要进一步深入讨论的。

::形式算术系统既一致又完全的一个例子：把所有真命题全部都取为公理。不过这个时候，公理集不是递归集

我在上面的这个说法不准确，应该把“一致”这个词去掉。因为我们无法知道这样得到的系统是否是一致的。
如果它是不一致的，那么它当然是完全的。如果是一致的，它仍然是完全的

我在上面的这个说法不准确，应该把“一致”这个词去掉。因为我们无法知道这样得到的系统是否是一致的。如果它是不一致的，那么它当然是完全的。如果是一致的，它仍然是完全的
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人们对哥德尔定理有多种等价的理解方式，其中好像就有：对于一个逻辑系统，它的一致性与完全性不能同时具备。

还有，如果把所有的真命题放在一起构成公理集合，那么势必会出现某两个相互矛盾的命题A和-A同时出现在同一个公理集合的情形，比如平行公设A及其否定-A都是真命题，这样一来，就算完备性条件满足了，一致性条件自然就破坏了。

::还有，如果把所有的真命题放在一起构成公理集合，那么势必会出现某两个相互矛盾的命题A和-A同时出现在同一个公理集合的情形，比如平行公设A及其否定-A都是真命题，这样一来，就算完备性条件满足了，一致性条件自然就破坏了。

形式公式（或形式命题）本身并没有真假这个概念，它的真假一定是相对于某种特定的解释来说的。A与﹁A在任一种特定的解释中，必定是一个为真一个为假。
平行公设A相对于欧氏几何为真，﹁A相对于欧氏几何为假。﹁A相对于非欧几何为真，A相对于非欧几何为假。可见，它们是不能同时为真的。

我前面说的把所有真命题放在一起，是指解释为算术时为真的命题，不会出现把A与﹁A都放在一起这种情况。