关于张量积和直积的讨论如火如荼，我想我应该专门开一帖说说了。
直积的思想背景来自Descartes，因此被称为Descartes（Cartesian product）。直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）因此有限个因子的直积就是离散积，也就是直和。直和只有在非Abel范畴情形下才被称为“离散直积”。每个向量空间可以分解为一维子空间的直和。

张量积的定义有很多。
1）含单位元的结合交换环A上的两个幺模的张量积。若V_i，V_j是自由A模，e_i，e_j分别是V_i，V_j的基，那么（e_iⅹe_j）就是V_1与V_2的直积的基。如果V_i，V_j都是有限生成自由模，那么dim（V_iⅹV_j）= dimV_iⅹdimV_j。数域K上有限维向量空间就是有限生成模，所以就适用于这种情形。物理中经常用到的张量积也是这样定义的。我们可以把两个张量积的概念推广到多个甚至无限个的情形。
2）与上面定义相关的还有两个矩阵A与B的张量积，也称为Kronecker积，如果A的矩阵元为a_ij，B的矩阵元为b_mn，那么A与B的张量积的元素就是a_ij与b_mn分别相乘，形成的矩阵的行数就是im，列数就是jn。如果我们把矩阵A看为ij维空间，把矩阵B看成mn维空间，那么矩阵A与B的张量积就是ijmn维空间，与第一种定义是对应的。
3）（拓扑空间上）向量丛的张量积。各个向量丛的转移函数的矩阵张量积（Kronecker积）就是向量丛张量积的转移函数。
4）含幺结合单位环上的代数的张量积，这个不是我们关心的，暂时不谈论。
5）群表示的张量积。与拓扑群表示论密切相关，但是也不是我们现在要讨论的。

因此，张量积与直积的分别是明显的。物理中的张量积与直积基本上是泾渭分明的。虽然张量积种类多种，但是前三种张量积基本上可以视为同一本质，都与直积严格区分。数学上和物理上基本上按照这些定义来区分张量积和直积。如果有网友发现反例，请列举相关文献出处，以让我纠正自己的观点。

物理中的张量积与直积基本上是泾渭分明的。数学上和物理上基本上按照这些定义来区分张量积和直积。如果有网友发现反例，请列举相关文献出处，以让我纠正自己的观点。
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现在是两种称谓：1、直积＝直和，2、直积＝张量积。第一种多为数学家使用，第二种多为物理学家使用。现在不争论其他，只举例说明谁在用哪一种。当然，很多（可能是大多数）数学家都在用第一种，很多（可能是大多数）物理学家都在用第二种，如
Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar
Quantum Theory: Concepts and Methods, Asher Peres
高量，喀兴林
举这种例子意义不大。有意义的是数学家使用第二种，物理学家使用第一种。

下面举出数学著作使用（或相当于使用）第二种的例子：
1、Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM中，其Tensor Product词条就直接指向Direct Product (Tensor)词条（此条的内容主要涉及广义相对论中的张量）。
2、Lectures on Matrices, J. H. M. Wedderburn, 1934, p. 151, 里面谈到了两个结合代数的直和和直积，其各自的定义直接对应于我的两种方案。象我的λ(v,w)=( λv, λw)或λ(v,w)=( λv, w) =( v, λw)这样的式子都有出现。
3、《抽象代数学》卷2（线性代数部分）（中译本），第七章，向量空间的积。其线条是：直积→Kronecker积→张量空间。
4、《环与代数》（著者不祥）p. 22，在谈论两个代数的内张量积时，括号内注明：或直积，或Kronecker积。
另外，对于矩阵，总有张量积＝kronecker积＝直积

后三者我都有电子版，我已发至stars_forum1@yahoo.com，信名为direct product.rar by blackhole。

欢迎给出物理著作使用第一种的例子。

Blackhole做了一件很有意义的事情。所以恰当的使用名词极为重要，可以避免不必要的混淆。估计将张量积称为直积的数学家少之又少，这个称谓只会引起巨大的混淆。

虽然wiki和Wolfram MathWorld讲了有些情况下如有限Abel群和模，直积就是直和，但我还是倾向于认为直积与直和在数学家眼里不是同义词，二者应该只在特殊情形下相同。又正如blackhole所指出的，对绝大部分工作于物理、化学、生物和工程领域的人，直和与直积是泾渭分明的，而张量积确实是作为直积的同义词使用（这一点可以肯定是不如数学家严谨）。例如，

（1） 原子中电子的波函数就是轨道运动与自旋决定的直积基（也就是张量积基）：|n,l,m,s>＝｜n,l,m>|s>，总基底空间维度为二者的乘积。
如果右边按直和来理解，不知如何解释得通？

（2）群的可约表示可以分解为不同维度的不可约表示的直和。总基底空间维度为各不可约表示的和。
而如果这时按直积来理解不同维度的不可约表示构成的可约表示，又不知如何解释得通？

"物理中的张量积与直积基本上是泾渭分明的。虽然张量积种类多种，但是前三种张量积基本上可以视为同一本质，都与直积严格区分。数学上和物理上基本上按照这些定义来区分张量积和直积。"

踪兄这句话说得有些满了。很惭愧，也许是我孤陋寡闻，我作为物理系出身的学生，对数学著作中张量积与直积的概念不甚了了，然而我读到的物理学教材（主要是有关量子力学、高等量子力学、量子信息、量子光学）中，竟然没有一本是把直积等同于直和，而把张量积单列出来的——惭愧，张量积的概念我还是在本论坛上第一次看到，我以前就只知道直积和直和。

但我还是倾向于认为直积与直和在数学家眼里不是同义词，二者应该只在特殊情形下相同。
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请仔细阅读顶楼文章前四行。没有人会认为直积和直和是同一概念。

踪兄这句话说得有些满了。很惭愧，也许是我孤陋寡闻，我作为物理系出身的学生，对数学著作中张量积与直积的概念不甚了了，然而我读到的物理学教材（主要是有关量子力学、高等量子力学、量子信息、量子光学）中，竟然没有一本是把直积等同于直和，而把张量积单列出来的——惭愧，张量积的概念我还是在本论坛上第一次看到，我以前就只知道直积和直和。
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我想重复一遍，直积和直和在特定情况下的等价性，很多物理书没有提及，但是不妨碍这个事实的成立。
张量积的源头根本就在与张量这个概念，其实物理味道是更浓的，如果我没有记错的话，喀兴林教授的《高等量子力学》的前面部分就已经讲到张量积，不过我要重新看看他的书才能确定他有没有将张量积这个术语等同到直积。

我翻阅了喀兴林教授的《高等量子力学》,在这本书第一章第五节,讨论了矢量空间的直和与直积.
他将直和与直积区分,前者是数学上的直和(离散直积),后者是数学上的张量积.看来物理学方面很多文献都是这样定义的.这和数学上有着巨大的不同.
或许物理学家认为直接把矩阵元或者基底逐个相乘得出新空间,就是“直积”，直接把各个空间的基底个数相加，就是“直和”。

但是在我们非常熟悉的度规张量的构造中，就是直接将切矢量的基底逐个相乘后作为基地，相应分量逐个取内积后作为系数。这个构造方式的张量味道实在太明显了，因此称为“张量积”是非常合理的。微分几何在讨论流形代数结构时，必然要讨论张量积，就是多重线性代数而已，方式类似于度规张量的基底构造（局部方式），其后Riemann曲率张量，Ricci曲率张量都是建立在这个基础上的。

综合上面所说，这只是名称约定问题，不存在定义方式的问题。只要是维数直接相乘的，就是数学上的张量积，也是很多物理文献和著作上的“直积”，维数直接相加的，就是数学上的直和（离散直积），也就是物理上的直和。我想这样大家应该都没有意见了，各取约定就是了~

必须说明，以前我看文献时虽然也有些须印象，但是到后期都已经被数学上的约定冲淡，因此固执认为物理学家也是用数学家的约定，事实上这是我固执己见、孤陋寡闻导致的后果。

事实上这是我固执己见、孤陋寡闻导致的后果。
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萍踪兄过谦了。本来你的数学功底就比一般物理学子强，容易向数学家那边靠，喜欢用数学眼光严格看待一切，是很自然的。

回星空兄：我的错误就在于，有文献在手边却没有去查证，只认为那里面的定义肯定是和数学定义一致，到自己想确认时才去查。这是一个非常不好的习惯。虽然在定义上面理解很清晰，不过我对于千里马是不管他是公是母，是白是黄的，所以只是强烈地记住了本质，对于表面的名称分歧却没有注意。这是第二个不好的习惯。