http://www.ams.org/ams/mathnews/motivic.html
代数几何的研究对象是由多项式方程所定义的代数多样体(algebraic variety，或称
代数簇)，类似于拓扑学中由连续函数所定义的流形(manifold)。流形是对曲线、曲面这些
概念的推广，可以有任意的维数。多项式的一个重要特性是它的全局性。对于一个一元连
续实函数来说，它在开区间(0,1)上的性质和它在远处一个开区间比如(2,3)上的性质可以
没有什么关系。但是如果我们知道一个一元实多项式在开区间(0,1)上的值，那么整个数轴
上这个多项式的值也就被确定了（注意到两个n次多项式相等当且仅当它们在n个不同点上
的值相同，而(0,1)上有无限个点）。所以代数多样体的性质比较“坚韧”，不象流形那样
可以任意变形，因为在局部的变形会引起全局的变形。在代数多样体上的拓扑被称为查理
斯基(Zariski)拓扑，和一般流形上的拓扑很不相同（举一个例子，在实数轴，即一维实仿
射空间上，普通拓扑下开区间(0,1)是一个开集；而在查理斯基拓扑下，(0,1)并不是开集
，一维实仿射空间上的查理斯基开集仅有空集，以及全集除去有限个点形成的集合）。这
注定了拓扑和代数几何的研究方法和思路的极大不同。代数几何是一门很古老的数学分支
，但是由于多项式这种“坚韧性”，在格罗登迪克之前代数多样体一直没有一个内蕴的定
义。当数学家研究一个代数多样体时，总需要首先把它嵌入到仿射或射影空间中，将其作
为一个子多样体来研究，然后再证明研究结果和嵌入方式无关。这种方法既不漂亮又累赘
。格罗登迪克创立的概型理论是代数几何的一次革命，它建立了内蕴的代数多样体概念，
使交换代数学和代数几何的联系变得极其紧密（仿射概型理论就是交换环理论），大大方
便了代数工具的使用，不仅原有的代数几何成果可以被优雅地写成概型的语言，而且代数
几何的研究领域也大大扩展。在这种语言下，代数几何专家终于可以象拓扑学家一样，用
“粘贴”的手段来构造无穷无尽的新颖有趣的代数多样体，而原先在代数拓扑领域中使用
的工具和方法也可以在代数几何中被大量借鉴。

　　代数几何和代数拓扑研究都将极其强大的同调（和上同调）理论作为重要工具。极其
粗略地讲，在代数拓扑中流形的奇异上同调理论定义了一系列上同调群，这些上同调群用
群论的语言刻画了将这个流形分割成小块子流形，以及这些子流形如何拼回这个流形的信
息。上同调群的群结构允许我们使用代数工具来研究流形的性质。凸多面体的欧拉公式“
面数-棱数+顶点数=2”可以看作是从这种分割和粘贴的信息中得到有用的数学结果的一个
极其初级的例子，同调理论描述流形性质的能力要远远超过这个简单例子。在代数流形上
也可以建立同调理论，而且可以用不同的方法建立不同的同调理论，格罗登迪克建立的代
数多样体上的层(sheaf)的上同调理论就是常用的一种，另外还有诸如对于不同的素数l定
义的l-adic上同调以及下面我们会提到的其它上同调理论等等，但是其中的几何意义就没
有奇异上同调那样清楚了。

　　在二十世纪六十年代，数学家们发现了代数拓扑中奇异上同调和现在被称为拓扑K-理
论的另一类群之间的紧密联系。这种联系极其重要，因为从K-理论中我们也可以得到流形
的拓扑、几何和算术方面的大量信息，其中一个例子就是流形的自同构映射群。上同调群
和K-理论的这种联系特别地表现在阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列(Atiyah-Hirzebruch spectr
al sequence)中。谱序列是同调代数学家经常使用的计算工具，可以看作是一本无穷页的
书，书的第0页是很容易得到的信息，以后每页都是由前一页的行列上的值按照某种方式计
算出来的结果，而最后一页（可以看作是所有这些页结果的极限）则是我们需要计算的结
果。阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列提供了一大组从流形的上同调群到它的K-理论上的同构。更
重要的是，它们也是环同构，这就是赫赫有名的陈氏示性类，以著名华裔数学家陈省身先
生的名字命名。

　　数学家自然希望能够在代数几何的同调理论中也有相似的理论。虽然代数K-理论很快
被构造出来，但是与之相对应的上同调理论却一直只在几个十分特殊的情形下才被构造出
来，这已经被看做是当时代数几何方面最基本的进展。在另一方面，代数几何中已有的上
同调理论也存在着缺陷。这些上同调理论往往需要代数多样体本身以外的拓扑和解析结构
来定义，如贝蒂(Betti)上同调和霍奇(Hodge)结构；而且各种上同调群之间的联系也不紧
密，比如对不同的素数l，同一个代数多样体上的l-adic上同调群之间没有明显的关系。格
罗登迪克在1964年给塞尔的一封信中预言了有一类由代数闭链（即代数子多样体）形成的
特别的数学对象的存在，通过这些对象可以构造出一个“万能”的上同调理论，其它所有
的好的上同调理论都是由它派生出来的。这个万能的上同调理论应该具有奇异上同调在代
数拓扑中的作用，尤其是应该有类似的阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列，将上同调理论和代数K
-理论联系起来，贝林松-里赫登鲍姆猜想即与此相关。格罗登迪克把这个预言中的特别的
数学对象取名为“动机”（法文为motif，英文为motive，意为主题，动机），因为有一种
叫“代数联系”(algebraic correspondance)的代数子多样体“驱动”和暗示了动机理论
的构造。格罗登迪克提出了他对动机理论发展的具体计划


　　动机理论中被理解得最清楚的是“纯(pure)动机”，它构造在光滑的代数多样体之上
。纯动机理论的确立将主要取决于两个现在尚未得证的“标准猜想”的解决，其中一个就
是价值百万美元的所谓的“千禧年七大数学难题”之一霍奇猜想。对于有奇性的代数多样
体的研究需要发展“混合(mixed)动机”理论。？

　　1987年安德烈苏斯林(Andrei Suslin)在法国马赛郊区的吕米尼(Luminy)数学中心所
作的报告中提出了使用代数闭链定义的同调理论，但是当时苏斯林同调的有用性并未立刻
显现出来。直到1992年沃沃斯基才在他的哈佛大学博士论文和后续一系列论文中，利用格
罗登迪克创立的范畴上的拓扑理论，由此同调理论中得到一个很好的上同调理论（同调理
论的对偶），并猜想它就是长期以来被寻找的动机上同调。苏斯林和沃沃斯基又受拓扑同
伦理论的启发，用仿射直线取代拓扑同伦理论中的闭区间[0,1]（正同前面所说对于开区间
(0,1)的情况一样，在拓扑中性质良好的闭区间[0,1]并非代数多样体，无法直接在代数几
何中运用），提出了在代数多样体上的“动机同伦”理论．．．．．

下面网页是一个ＡＭＳ　上关于这方面的介绍．http://www.ams.org/ams/mathnews/motivic.html

那些部分是原创，那些部分是转载？

上传的时候搞错了,差点上了新语丝,谢谢指正.

这是B.Mazur写的，Mazur还写过一本厚书：Topos，Triple and Their Theories，300多页。

Homology of algebraic varieties: An introduction to the works of Suslin and Voevodsky" by Marc Levine, 这篇文章更加好，粗略的说了Voevodsky的工作，其实对于Motivic Cohomology，Suslin的工作应该是很大的，在我看来应该是奠基性的。

搞错了，这篇文章不是Mazur写的，但是里面大量的引用（间引）了Mazur文章里的内容。另外，译文里的“代数多样体”应该就是代数蔟吧。

应该翻译这篇Mazur写的：
http://www.ams.org/notices/200410/what-is.pdf

有点意思。。。不过关于这个问题，文章太短了还是不够有感觉