假如在平直时空中有一个自由运动的粒子（可看作质点），在任一时刻，粒子的时空坐标在一惯性系中观察为(dT, dX)（这里统一地用微分元的形式表达），而另一个在引力场中自由下落的观察者看来，该粒子的坐标是(dt, dx)，这里为简单计，假定X与x轴平行，且都平行于引力场中观察者的自由下落方向，且平行于粒子的运动方向。那么这两个时空坐标(dT, dX)和(dt, dx)之间的关系式是怎样的？有没有文献简单地给出过？

下面是我自己过去总结得出的（对于专业人士可能是常识）：

1）在引力场中，一个质点的质壳关系也可以表达成狭义相对论中的质壳关系形式：E^2=MC^2+P^2C^2
但是其中M是质点在引力场中的静止质量（不同于质点在平直时空中的静止质量）
C是引力场中的光速（是坐标速度，不同于平直时空中的光速），而动量P=Mu，u是引力场中粒子的运动速度。如果用其他量，得不到这个式子。

2）我们知道，Planck长度，是用三个基本常数G（引力常熟）、h（除以2Pi之后的Planck常数）和真空中的光速c组合出来的具有长度量纲的量。我从一开始就发现它存在以下解释：

由于坐标动量测不准关系，我们有：ΔxΔp>=h/2（这里h表示除以2Pi之后的Planck常数），取最小不确定情形，即有ΔxΔp=h/2，这意味着，空间距离越小，能量涨落越大，引力就越强，照这个趋势下去，就会有越来越大的能量涨落发生在越来越小的空间范围内，以致于这个空间半径成为该能量形成Schwarzschild黑洞的Schwarzschild半径，其中能量E=Δpc=Mc^2，M是Schwarzschild黑洞的质量，此时就会发现，这个Schwarzschild半径正好是Planck长度！ 可惜后来才知道这不是我的独到发现。

第一个问题要涉及到惯性力的起源和马赫原理吧，应该会比较复杂。
另外planck尺度本来就是个量子引力的尺度，可以由量子涨落的尺度和schwartzschild半径相等是定出来，并不奇怪。

纠正一下：
“动量P=Mu”应该改为→“动量P=M'u”，其中M'是引力场中粒子的运动质量

纠正一下：
“动量P=Mu”应该改为→“动量P=M'u”，其中M'是引力场中粒子的运动质量

第一个问题本身前后矛盾：到底有没有引力场？到底时空是不是平直的？

如果是在平直时空中，可以做的是作坐标变换，笼统地说这等价于换成非惯性系。

也请教一下啊，即使两个参考系都是惯性系，即使某条坐标线看起来是直线，两个参考系之间的变换关系也不必然就是简单的 Lorentz 变换关系吧？比如我人为地把 x 统统替换成 x^3 ...

换当然可以换啊，但毕竟可以换回成简单形状啊。计算一下曲率，它一定等于0，说明它一定可以换成简单形状。如果曲率不为0，就一定不能换成简单形状。

为了避免误解，我这里补充说明一下：

关于我所请教的问题，我的意思是指两个沿测地线运动的观察者，都对位于平坦时空中的同一个自由粒子进行观测，其中一个观察者在平坦时空中作惯性运动，另一个观察者在静态引力场中作自由落体运动。我的问题是想问：两个观察者观测到这同一粒子的局域坐标(dT, dX)和(dt, dx)之间的变换关系是什么。

关于“引力场中的静止质量”，是指粒子在静态引力场中的静止质量。我谈到的这个内容在北师大刘辽教授的《广义相对论》（第二版，2004）第75页可以找到。那里主要是谈论引力场对其中的各种物理量的影响。

关于我所请教的问题，我的意思是指两个沿测地线运动的观察者，都对位于平坦时空中的同一个自由粒子进行观测，其中一个观察者在平坦时空中作惯性运动，另一个观察者在静态引力场中作自由落体运动。我的问题是想问：两个观察者观测到这同一粒子的局域坐标(dT, dX)和(dt, dx)之间的变换关系是什么。

还是没看懂你的意思。如果时空是平坦的，就不会有引力场，不会有在引力场中作自由落体运动的观测者，如果有引力场，时空就不是平直的，就不会有在平坦时空中作惯性运动的观测者。

或者，你是说这样一种时空：部分平直部分弯曲？

又或者你是说一个引力场及其渐进平直区域？

谢谢楼上几位的热心回复！我这个问题不是一个好问题，问题的提法就有问题，因此我现在已经放弃了这个问题。