一、普通测量。这里的普通测量是指一般量子力学教材中谈论的测量。它有几个特点：1、存在表征力学量的算符（存在完备且正交规一的本征态，本征值是实数）及其相应的谱分解，测量值是此算符的本征值；2、测量某力学量等价于把系统的态按这个量所对应的算符的本征态展开（正交测量），测量到某值，则系统此后的态塌缩到相应的本征态；3、测量到某值的几率由展开式中相应的系数确定。
　　二、广义测量。存在一组测量算符M_i，满足ΣM_i^+M_i=1。若测量到第i个值，则其几率是<Ψ|M_i^+ M_i|Ψ>，测量后的态是M_i|Ψ>（未规一化）。与上面的普通测量比较，它当然不一定是正交测量。而且上面的测量是广义测量的特例。但还有一个特征值得一提：它不存在（或不关心）力学量算符，当然也就没有谱分解式。它只关心测量到第几个值，而不关心测量的东西（力学量算符）什么，测量值（本征值）是多少。
　　三、POVM。存在一组正（从而必然厄米）算符E_i，满足ΣE_i=1。测量到第i个值的几率是<Ψ|E_i|Ψ>。与普通测量比较，它不仅没有谱分解式，不关心测量值（没有第一条），也不关心测量后的态（没有第二条），唯一关心的是测量到某值的几率（只有第三条）。
　　所以，只要是谈论POVM，就应该找不到关于测量后系统的态的信息。而张永德在他的量子信息书里面在谈到POVM后，又谈到测量后的态是Sqrt[E_i]|Ψ>，这是没有道理的。这是因为，虽然Sqrt[E_i]^+ Sqrt[E_i]= E_i，但一定存在其他算符M_i满足M_i^+ M_i= E_i。也就是说，从测量算符M_i可以得到POVM元E_i，但从E_i是得不测量算符到M_i的。而只有知道M_i才能知道测量后的态。
　　说明：之所以没有将普通测量说成正交测量，是因为后一名词似乎不必然包含“存在力学量算符”的意义。

　　欢迎指正。

我系统地发了一个新帖，与此帖遥相呼应:-)

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我看了。除了一些我不懂的概念，基本清楚。
　　但我仍然关心的是：广义测量和POVM有没有区别？尤其是从POVM中是否得不到测量后系统的态？我这里的心得主要根据Nielsen的 Quantum Computation and Quantum Information。
　　又查Preskill的Quantum Information and Computation，里面说：How does a general POVM affect the quantum state? There is not any succinct general answer to this question that is particularly useful. 虽然这里谈到了经过POVM后系统的态为\rho'=Σ Sqrt[E_i]\rho Sqrt[E_i]，但也强调了其前提是E_i是“一维算符”，即E_i|Ψ>是一维子空间。这理所当然。因为在一维情况下，E_i的“平方根”是确定的。但多维情况下，E_i的“平方根”是不确定的，应该不能由E_i确定满足M_i^+ M_i= E_i的M_i。

所以我顶楼的话有误：
虽然Sqrt[E_i]^+ Sqrt[E_i]= E_i，但一定存在其他算符M_i满足M_i^+ M_i= E_i
应改为
虽然Sqrt[E_i]^+ Sqrt[E_i]= E_i，但在多维情况下一定存在其他算符M_i满足M_i^+ M_i= E_i

欢迎yinzhangqi光临本楼。

心得补充：

　　从广义测量的观点来看待普通测量，相当于在普通测量中我们只需要那个力学量算符的谱算符就可以了。这样，两个不同的力学量算符，如果它们的本征子空间相同，但本征值不同，这在普通测量的观点看来是两次不同的测量，但在广义测量看来是一回事。这一点应该比较有趣。

在国内，中国科技大学的张永德教授是这方面的专家（他比关洪老师可是“正统”多了），如果你在网上可以搜索到他的电子邮件，可以去信请教。

我曾经一直想转向量子信息与量子计算的研究学科，但到现在都还没有来得及转，不知将来有没有机会转。

心得补充（2）
　　
　　广义测量当然也可视为POVM的特例。由于对于每个POVM元E，如果它不是一维的，方程M^+ M=E存在多种解，所以可以有多种广义测量在POVM看来是一回事。原因很简单，因为POVM不关心测量后的态。态不同，但只要几率<Ψ|M^+ M|Ψ>=<Ψ|E|Ψ>相同，在POVM看来就是一回事。
　　一次普通测量当然也可视为一次POVM测量，但此时力学量的各谱算符（投影算符）P_i只能视为正算符而已，不再一定能确定测量后的态。或者说，一次普通测量（不计本征值）和测量算符满足M_i^+ M_i= P_i的广义测量对POVM而言是一回事。