自旋世界(1)--春光乍泄？

刘俊明

伟大的法国数学家皮埃尔－西蒙－拉普拉斯曾经是那样的踌躇满志，他相信他终于可以完成一个理解世界之一切的宏伟计划。大概在他心灵的天空，万里无云，一切都要由他群领风骚，这个世界已经没有什么能够逃出他的手掌：只要你给他作用在物体上的力，他就可以知道物体的运动；反过来，他知道物体的运动状态，那么作用其上的力也就可知。因此，只要在某个时刻测出所有物体所受的力和物体的运动，那么宇宙之间的过去、现在和未来还有什么神秘的呢？！

遗憾的是，两百年过去了，科学在不断进步，可是一点也没有印证老拉的预言。历史给他那个时代的伟人开了个极大的玩笑，而芸芸众生仍然是日起而作，日落而息罢了。

现在，相对论和混沌理论占据了认识的最高宝座，老拉的豪言壮语已经被人渐渐忘记。

即便如此，我们不妨仍作一个大胆设想：如果我们进入一个可计算的模型宇宙而不是现实的宇宙。在这个模型宇宙中一切力和运动都是可以准确跟踪计算的，物理规律仍然是要多简单就多简单，什么量子力学都见鬼去吧。假定我们可以准确记录这个玩具宇宙中每一个微观世界的事件，那么我们对起未来和历史总该可以了如指掌了吧。

可是，且慢！事实上，我们对这个如此开放和透明的世界所知不过尔尔，我们原来的感觉那只是一厢情愿而已。我们的确可以追踪每一个物体，但是却对这些个物体为什么会聚集在一起束手无策！例如，由每个物体的运动和作用力信息我们怎么也无法理解象沸腾和冷凝这些个行为；我们也许能预测这个人造海洋里面每个水分子在哪，可是它呈现固态、液态还是气态，谁能够理得清？注意，我们只是用老拉的逻辑。此时人类好像有些天真又无奈啊^_^。

现在大家知道，搞清楚这些个状态的玩意是热力学的事情，而这门学问一个最简单最典型的微观的系统就是伊辛模型了(Ising Model)。这个模型来自于物理学家津津乐道的学问之道：将一切现象的外衣脱得精光，直奔其最最基本的内核。对伊辛模型而言这个内核就是一大堆物体(我们还是说颗粒吧)堆在一起时会出现什么组合行为。嗯，

组合行为是热力学的精髓啊！^_^ 这样说来，如果老拉的理想可以实现，那么这么个简单的系统其组合行为总是可以预测的吧。呵呵，不是预测，那些日出而作、日落而息的老百姓已经观测得很清楚了，剩下的只是要伟大的物理学家稍微说明一下它为什么会那样！

遗憾得很！伊辛模型已经将老拉们难住了！即便抛开老拉们的狭隘观念，现代学者们用尽了各种数学伎俩和计算机牛B， 问题不能说依然故我但还是春风得意的，因为伊辛模型最里面的一件衣服不知道是什么作的，如何穿的，物理学家怎么也脱不掉那件衣服。自然，里面的春光如何能够乍泄呢？！^_^

自旋世界(2)--青春初露

刘俊明

下面我们来说说伊辛模型吧。这个模型实际上是1920年由德国物理学家威廉.愣次教授提出的，目的是为了给铁磁体一个简化的物理图像。当然，这个愣次教授可不是电磁学中愣次定律的那个愣次。而铁磁体就是磁铁啦，这玩意也许在你家冰箱门上贴住一张备忘录纸条时就用得着。几年之后，愣次在汉堡大学招收了一个博士生，名叫昂斯特.伊辛，就将伊辛模型交给伊辛作为博士论文的题目。伊辛模型交给伊辛作论文题目，是不是比较拗口？但是，无论如何，我心目中的偶像终于出世了。

其实，伊辛不过是研究了这个模型在一维条件下的相变和有序行为，而且得到了一个平凡的答案：一维铁磁模型如果只考虑最近邻交互作用的话，是不可能有相变的。虽然伊辛也将这一结论推广到三维情况，但是其结论似乎错了。虽然如此，这个模型以伊辛的名字命名已成定局，倒是埋没了其导师愣次教授的贡献。

伊辛本人是犹太人，在纳粹德国时期，他有着坎坷的人生经历。一生发表过一篇论文、一篇人物传记类论文：“作为物理学家的歌德”，其博士论文按照德国惯例也由一家出版社正式出版。他的那篇有关伊辛模型的SCI论文大概被引用了600余次，但是题目含有Ising model字样的研究论文目前每年有800篇左右，可见影响巨大。其实，科学家的成名应该是这种方式，以其名字命名的某种理论、效应、现象和方法能够为后人所研究并且写入教科书。而目前我国这种靠政府行为或者某一机构评选出来的杰出青年、长江教授、跨世纪人才等等称号并不是科学家成名的专业professional形式。

言归正传吧。伊辛模型的基本单元是电子自旋。所谓自旋，顾名思义当然是一种空间的转动，可是在这个模型中从来就没有谈转动问题，用一个箭头表示一个自旋足已，这个箭头只可以指向“上”或者“下”。如果很多箭头排列在一个点阵或者网格上，格点处是箭头的位置，那么这些箭头的组合行为就构成了一个磁性体系：如果所有箭头取向看起来完全由自己决定，与周围的邻居箭头无关的话，点阵就可以类比为顺磁体；相反，如果箭头排列呈现某种有序行为，我们就将点阵与铁磁、反铁磁之类的状态类比起来。在铁磁体系，我们知道自旋箭头倾向于和其周围邻居平行排列，也就是说，两个相邻的箭头如果平行排列，体系能量就比较低；反之能量就比较高。伊辛模型还假定，一个箭头只是与其周围最近的邻居有关系，与更远一些的邻居绝对互不来往。很奇怪的是，即使这种短距离的关系却可以导致全部箭头相互间有很好的同步和协调，只要温度合适或者外场合适。也就是说，伊辛模型中的箭头组合行为那是绝对的和谐社会，大家一起生活、一起行动、一起抵抗外敌，但是却只是与其最近的邻居打交道，与稍微远一些的邻居同类老死不相往来。

伊辛模型看起来的确是一个描述铁磁体的好卡通，它的确抓住了实际世界的本质性的东西。能够做到这一点就已经很不错了。伊辛自旋对应于譬如铁原子的电子自旋，而格点组成的点阵就构成了铁的晶体结构。最近的邻居关系就表示了临近的铁原子波函数之间的交接大小。我们看到，伊辛模型的区区几个性质就在量子力学层次上将实际磁学世界的图像描绘得惟妙惟肖，就像毕加索三画两笔将一头牛的形象搞定了一样。从这个角度看，伟大的物理学家本身就是伟大的画家，他(她)能够以自己的语言将自然界的臃肿复杂剥离得清清楚楚，给人的感受的确是畅快淋漓啊。

不过，我们也应该注意到，伊辛模型中每个箭头只能取两个方向的规定似乎在现实世界中没有明显的“法理”基础。事实上，当年海森堡提出他的海森堡自旋模型时就没有这条法律，而代价是海森堡模型就没有伊辛模型简单明了，其求解也要困难很多。到现在为止，还没有关于海森堡模型的诺贝尔奖工作出来，而昂萨格早就因为伊辛模型得到了化学奖。当然，海森堡模型与伊辛模型似乎是磁体微观世界的南北极，虽然南极现在开发得如火如荼，但北极世界就显得比较冷清了。

没关系，只要世界还有处女地，总是有勇士会去开拓的！

[刘俊明的博客]: http://www.sciencenet.cn/blog/user_index1.aspx?userid=915

注：素材来自B. Hayes, American Scientist 88, 384 (2000)

伊辛(Ising)模型背后的故事

郝柏林

复旦大学理论生命科学研究中心
中国科学院理论物理研究所、美国圣菲研究所

看了刘俊明关于伊辛模型的博客文章（http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=1719），想做一些更正和补充。首先，伊辛一生发表了不只一篇论文。王竹溪先生在统计物理学导论（高等教育出版社，1956）155页上就引用过伊辛1931年的论文（Ising, Ann. d. Phy. 8(1931), 905），说明“由于天平的布朗运动，测质量的精确度不能超过10^(-9)克”。

伊辛1925年解决的只是一维问题。文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。这是统计物理发展的里程碑。不过，那篇文章极其难读。直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。

年青的Luttinger写信给Onsager，想用他的方法求解三维问题，作为博士论文。Onsager回信说，用我的方法解决三维伊辛模型的可能性等于零。1950年代初，在一次国际会议上有人写出了三维问题的“解”。Eliott立即从座位上跳起来说，那不可能是对的。同一时期有流言盛传，说一位年青的英国人解决了三维问题。直到Onsager专程去了一趟英国，传言才销声匿迹。那位年青人叫John Maddox。他在失望之余，放弃物理，改做科学记者，最终成功地担任了许多年《自然》杂志的主编。退休前后，英国女王赐封Sir头衔。1985年Maddox访问北京，笔者当面核对了这段历史。1978年曾经传闻，理论物理尖子之一，苏联的Polyakov解决了三维问题，但不久就烟消云散，Polyakov转去做量子引力。

Onsager求得配分函数，顺便得到比热临界指数α=0。他曾在一次国际会议的讨论中，在黑板上写出另一个临界指数β=1/8，但是从来没有说明是怎样算出来的。1952年杨振宁严格计算出β，是对伊辛模型的重大贡献。1967年吴大峻等计算出另一指数γ=7/4。1966年杨振宁应邀参加一次关于相变的会议，返程时与Onsager在候机室中谈话。杨先生对Onsager说，我可以跟随你的全部推导，计算出那一大堆对易关系，但是始终不明白你是怎样走到这一步的。那天Onsager的情绪很好，打开了话匣子。Onsager说，他离开欧洲到美国之际，听说有人把两根一维链连成一架梯子，还可以精确求解。于是试着把三根、四根、五根一维链横着连起来，计算出配分函数。一直算到七根，就悟出一般算法，写成文章。1995年杨先生在厦门举行的第19届国际统计物理学大会上做报告时，回忆了这段往事。可惜后来在为会议文集撰写的文字里，省去了这些细节。

在尝试过求解三维伊辛模型的人中，笔者可能属于少数没有输光者。那是在1966-1976的文化大革命中。图书馆全部关闭，业务工作完全停止。我在运动初期挨大字报和接受批判之余，躲在家里求解三维伊辛模型。我先回顾了二维问题的各种解法，看那一种有可能推广到三维。一个难题一旦解决，就可以想出多种解法。Baxter的一篇论文题目就叫“伊辛模型的第399种解”。我提出一种以四元数做转移概率的三维无规行走模型，它的严格解可以回到正确的二维伊辛模型。记得1960年代末的某夜，我以为拿到了最后结果，兴奋地算到天亮。不久就明白了，它只是三维伊辛模型的一个封闭近似解。1972年杨振宁先生访问北京大学，在临湖轩同一些物理学工作者会面。杨先生逐个询问大家在研究什么，我就说了伊辛模型，并问起三维问题有何进展。

我在简单立方晶格上的计算涉及到非对易的“体”上的12乘12的行列式。最直接的做法，是坚持使用左乘或右乘，按行或列展开，得到左行式、左列式、右行式、右列式四个对象。苏联数学家塔拉索夫曾经证明，如果这四个量相同，那原来的行列式不是定义在“体”上，而是定义在对易的“域”上。我注定会得到两个或更多的结果。幸运的是我首先算得的结果，正好是伊辛模型的封闭近似解。几天后算出的另一个解，物理上完全不对。由于计算上的“非唯一”，这结果一直放到打倒“四人帮”以后。我同数学所许以超、石赫讨论，领教了华(罗庚)门弟子的过硬算功。许以超当晚解析地求得那唯一的临界温度，与我的数值结果一样。他们的严格结果，恰好同我第一次计算所得一致。我们的联名论文发表在《物理学报》上。这一组工作得了1987年中国科学院重大科技成果奖。

为了把计算推广到三维体心立方晶格，需要计算16乘16的“体”上行列式。这超出了手工操作的可能性。于是我着手引进计算机解析推导的软件，最初是REDUCE和巴黎萨克莱核中心理论组J.-M. Drouffe搞的CMP。最终计算是同博士生符洪与萨克莱的Robert Conte共同完成的。经过几个月的人工准备，那最后的计算在IBM3090计算机上只用了9秒钟。文章发表出来已经到了1986。

1977年4月我初次到欧洲访问，在奥尔塞的巴黎南部大学做了报告。当晚，Rankovici教授在家里请客，做陪的是后来拿了诺贝尔物理学奖的de Genne。我和Rankovici就三维伊辛模型是否存在封闭解有所争论，他说“不存在”，我根据计算中遇到的大量规整对称的中间结果的启示，说“存在”。最后我们赌了一瓶香槟酒。不过，至今这瓶酒还没有归属。

1981年我在布鲁塞尔自由大学做访问教授。德国的Hermann Haken趁机邀请我和老伴参加在阿尔俾斯上南麓举行的协同学讨论会。会议主题是“自然界中的有序和混沌”。我在会议上还是讲有序，即三维伊辛模型的封闭近似解，不过从山上下来就钻进了混沌。发表在会议文集中的报告，是我关于伊辛模型工作的唯一英文记录。

1970年代末，王竹溪先生曾用3个半天，在他主持的讨论班上讲述了二维伊辛模型的Onsager和Kaufmann解。王先生在最后说，关于三维模型的最好结果是郝柏林得到的。可惜王先生的话没有书面记录，只留在一部分讨论班参加者的记忆中。

>>为了把计算推广到三维体心立方晶格，需要计算16乘16的“体”上行列式。这超出了手工操作的可能性。于是我着手引进计算机解析推导的软件，最初是REDUCE和巴黎萨克莱核中心理论组J.-M. Drouffe搞的CMP。最终计算是同博士生符洪与萨克莱的Robert Conte共同完成的。经过几个月的人工准备，那最后的计算在IBM3090计算机上只用了9秒钟。文章发表出来已经到了1986。

It appears that Prof. Hao's 1986 result was NOT an analytical solution. According to Wikipedia, "... but the 3D Ising model resisted solution for decades and was finally proved to be computationally intractable by Sorin Istrail in 2000 ... the 3D Ising model can't be solved exactly in general, since non-planar Ising models are NP-complete".

1977年4月我初次到欧洲访问，在奥尔塞的巴黎南部大学做了报告。当晚，Rankovici教授在家里请客，做陪的是后来拿了诺贝尔物理学奖的de Genne。我和Rankovici就三维伊辛模型是否存在封闭解有所争论，他说“不存在”，我根据计算中遇到的大量规整对称的中间结果的启示，说“存在”。最后我们赌了一瓶香槟酒。不过，至今这瓶酒还没有归属。

Prof. Hao appears to lose the bottle of champagne to Prof. Rankovici if the following report stands the test of time:

http://www.sandia.gov/LabNews/LN04-21-00/sorin_story.html

郝柏林七十多岁了，还写博客，并且还转行做生物，看来是不服老啊。

听过郝的讲座，印象最深的一点就是他的声音特别宏亮；当时那个教室的音响坏了，他就对着数百号人直接用嗓子讲。