不知这里有谁愿意谈一谈量子群和非对易几何作为数学工具在当代物理学中的种种用途？我感觉如今在理论物理学领域作研究，似乎无法绕过量子群和非对易几何这种数学工具。很希望有人能够从多个不同角度科普一下量子群和非对易几何的来龙去脉和基本思想。我在过去的几年中，有过不少idea，但研究下去时，发觉最后都涉及量子群与非对易几何，由于本人目前不具备这方面的基础，只好作罢。

这个话题虽然似乎应该发在数学论坛，但对于我而言，关心的是物理，所以就发在这里，好在数学物理存在交叉。

我一窍不通

谈不上科普. 我自己也不懂. 只是最近读文章的时候看到 Witten 对量子群的一些议论, 提出来大家看看.

如果我们在非阿贝尔规范场论中引入 Wilson loop, 它可以看作是一个带规范荷的粒子的世界线.

带 "荷" 的意思就是, 这个粒子的所有状态构成规范群 G 的一个不可约的酉表示. 如果 G 是紧的, 所有不可约酉表示都是有限维的, 这样一个 "荷" 就是规范群 G 的一个有限维不可约表示 R.

Wilson loop 定义为规范场沿着世界线的积分 (是规范群的一个元素) 在表示 R 里的迹 (特征标). 所以实际上我们是在沿世界线积分一个矩阵值的规范场.

在 Chern-Simons 理论中, 如果我们取规范 A_0 = 0, 那么在做正则量子化的时候就有一个 Gauss 约束, 是说规范场的强度在没有荷的地方是零, 而每一个 "荷" 贡献一个矩阵值的 delta 函数, 这个矩阵就是在 Wilson loop 里跟规范场耦合的那个矩阵.

如果我们先解约束然后再量子化, 那么就会出现很奇怪的现象 --- 约束的解并不是一个 c-数 规范场, 而是一个 q-数 规范场, 因为现在的荷是非阿贝尔的. 这个 q-数 规范场沿世界线的积分就不再是规范群里的元素, 而是一种 "量子群" 的元素.

Witten 说, 很可能所有的量子群都可以看作是这样产生的.

众所周知 Witten 用三维 Chern-Simons 理论解释了一种扭结不变量 --- Jones 多项式. 但是 Jones 多项式的计算方法都是二维的, 特别是, 有一种计算方法用到量子 Yang-Baxter 方程的解, 而用量子群可以成批生产 Yang-Baxter 方程的解.

Witten 试图说明, 三维 Chern-Simons 理论在某种对称性破缺机制下成为一个二维的顶点模型, 三维的规范群 G 破缺为它的极大子环群 T, 而量子群就是这种对称性破缺的产物. Witten 对刚才这句话的解释强烈地依赖于非常复杂的计算, 我现在还没有领会他的意思.


参考:

Witten, "Quantum Field Theory and the Jones Polynomial",
"Gauge theories and integrable lattice models" ,
"Gauge theories, vertex models, and quantum groups"

谢谢季兄！下面这段话对我很关键：

如果我们先解约束然后再量子化, 那么就会出现很奇怪的现象 --- 约束的解并不是一个 c-数 规范场, 而是一个 q-数 规范场, 因为现在的荷是非阿贝尔的. 这个 q-数 规范场沿世界线的积分就不再是规范群里的元素, 而是一种 "量子群" 的元素.
Witten 说, 很可能所有的量子群都可以看作是这样产生的.

记得有本书说，量子群的矩阵表示中，矩阵元不再是c数，而是非对易的q数。有些人在研究量子Lorentz群，但好像没有多大物理意义；另一方面，研究量子参照系的人发现，那里对应的数学并非量子群。

非对易几何的简介可以参阅

hep-th/0602105 "Non-Commutative Geometry & Physics"
by Michael Wohlgenannt

gr-qc/0507135 "Quantization of Physical Models and Non-Commutative Geometry"
by P.A. Saponov

谢谢昌海兄，我已经下载