量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源。直接的量子化不是能量或者动量，而是三角函数的角度量子化（即作用量、或者说相空间测度量子化），只有当时间间隔或空间距离给定时，才等效成能量或动量量子化(同理，角度给定时就有角动量量子化，等等）.

利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式：

假设相空间中有一个长方形，边长分别为A和B，分别平行于位置空间坐标轴和动量空间坐标轴。量子力学无非告诉我们，相空间是离散化的，是量子化的，是由一块块“面积”（或“体积”）大小固定的砖块组成，这样的砖块称作“相空间格子”或者“相格子”（这个名词在激光物理中使用，不是本人杜撰）。假定这个长方形就是这样的基本“相空间格子”，由于它大小固定，所以，当对它进行任意变形时，若边长A变长，则相应地边长B必然变短，反之亦然。当边长对应偏差时，这就是测不准关系的直观理解图象。

通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，它等于没有除以2Pi的那个Planck常数。也许这种差异就是因子1/4Pi的来源（测不准关系中，有1/2因子，因此说“因子1/4Pi”而不是“1/2Pi”）。在量子统计中，经常要计算的某种量跟量子态数成正比。无自旋时，认为相空间中，每一个相格子占据一个量子态，因子积分测度Vd^3p中含有（Vd^3p/h^3）个量子态，其中V是位置空间体积，d^3p是对三维动量的三重积分，h是Planck常数，在自然单位制下，h^3变成2Pi的三次方，这里体积因子V常被波函数中的归一化因子吸收了。如果存在自旋等内部自由度，则还要乘以自由度数量。

在激光物理中，相格子代表“相干体积”（不过如果你看到“相干体积”这个词可能不一定是我这里所说的含义。相格子在这里至少还有三重不同的有趣含义，可惜我忘了，我的笔记在家里），处于同一个相格子中的光子才是相干的。激光就是处于同一个量子态的光子集合，技术上要实现更大的激光强度，就需要更多的光子相干。激光技术的一个目的之一，就是拼命地保持相干，可惜自然界偏偏有N多个因素破坏这种相干。

理想的激光频谱是一根线，即宽度为零的单色光，前面说过，相格子面积是固定的，因此单色光的相干时间是无穷长的，相干长度等于相干时间乘以光速，也是无穷长的。同一个光源，不同时刻发出的光子不一定相干，这取决于相干时间长短；不同的地方放出的光子不一定相干，这取决于相干长度。当然经历不同路径、不同运行时间的光子是否相干，也是取决于这些。

在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。

傅立叶变换相当于相空间中的坐标旋转变换。人们已经将传统的傅立叶变换——旋转90度的变换，推广到分数阶傅立叶变换，即在相空间中旋转任意角度的坐标变换，然而关于它存在N多个等价的定义，每一个定义给出了它的不同角度的理解。所有这些以及小波变换，都是应用科学的成果。应用与实践，常常是理论的源泉。

傅立叶变换是一个数学上的东东，然而别说在物理上，就是在技术的意义上，它都可以变得很实在。对于工科学生而言，傅立叶变换跟一台设备没有分别，因为在技术上人们就用仪器设备来实现它，连分数阶傅立叶变换都在技术上实现了。例如让一个信号输入某台设备，输出的就是这个信号的傅立叶变换！傅立叶变换其实是可以描述成算子。算子是什么东西？就是一台机器，你给它喂一个东西，它加工后产下另一个东西。

在我眼里数学是实在的，尽管它的描述方式可能是有些主观随意。有人说，只要桌子板凳也满足那些数学公理也可以，所以数学纯属主观性的——问题是，你要那些桌子板凳满足那些公理才行啊！这个比方是很误导少年的。

物理规律和数学真理是分不开的。并不是物理规律才叫规律，而数学规律就不叫规律，就是trival。
有一点在我看来是绝对的：如果没有那样的数学规律，就没有那样的物理规律。如果没有“3的平方加4的平方等于5的平方”这样的数论真理，现实中由3，4，5构成边长的平面三角形就不会是直角三角形。如果不是有类似于“要构成空间局域的波包，必须要无穷多不同动量成分的平面波来叠加”或者不是因为有类似于“Dirac δ函数可以用指数函数展开（其中求和是连续求和的积分，积分变量是δ函数自变量的共轭动量）”这样的数学规律，就不会存在量子力学中的测不准关系。

纠正与补充几句：

1）“通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，它等于没有除以2Pi的那个Planck常数。”
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不好意思，这句话应该改成：通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，相格子的“面积”等于h^(n/2),其中h是没有除以2Pi的那个Planck常数,n是相空间的维数。

2）“角度给定时就有角动量量子化”
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旋转一周的角度是固定的，2Pi，所以这里角度不是人为给定，而是自然给定的。相应地，角动量量子化好像也是“天然就有的”

3）利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式
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测不准关系表达式中，是大于或等于的关系。我这里提供的理解方式只对应等于关系：例如：ΔxΔp=h/4Pi
我们知道，在相干态下，测不准关系表达式就对应等号形式ΔxΔp=h/4Pi。类似还有其他一些这样的特殊情形。我个人猜想等于关系才是最基本的情况，而大于关系来自于某种“混合”，不是最基本的情形。

4）场的零点能和测不准关系，很容易给人联想：是否二者存在什么内在关系。在我看来，由于它们都跟广义坐标－广义动量之间的对易关系直接相关，所以二者物理来源的本质是一样的。这里的“广义坐标、广义动量”当然包含通常的坐标和动量。注意的是：产生湮灭算子之间的对易关系来自于广义坐标－广义动量之间的对易关系。

旋转一周的角度是固定的，2Pi，所以这里角度不是人为给定，而是自然给定的。相应地，角动量量子化好像也是“天然就有的”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
可能正因为如此，在数理方法中，波函数满足的边界条件ψ(0)=ψ(2Pi)被称作“自然边界条件”。

我们知道，在相干态下，测不准关系表达式就对应等号形式ΔxΔp=h/4Pi。类似还有其他一些这样的特殊情形。我个人猜想等于关系才是最基本的情况，而大于关系来自于某种“混合”，不是最基本的情形。
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what “混合”?

我认为物理定律不可能根据数学定理推出来，也许某些数学可以把物理定律的形式弄得很漂亮，也可以澄清一些含混的问题。但是数学并不能先验的决定任何物理定律。应该说，刚好我们使用某些数学来描述物理。数学，你可以任意的构造一套体系，这都是可以的，即使这个体系毫无意义。但物理是唯一的。当然正是因为数学和其他学科的关系，使得我们可以在很大的程度上判断哪些是好的数学。

量子力学的Fourier变换，从数学上看，应该说就是Heisenberg原理成立的本质，但是这并不表示它就是物理的本质。只要有Fourier变换，你都可以证明一个表示不确定性的不等式。

BTW,Fourier变换是与圆周以及直线密切相关的。在一般的李群或者局部紧拓扑群上，根据Peter-Weyl定理，我们有广义的Fourier变换，同样可以证明一些表示不确定性的Heisenberg不等式。

量子力学的离散性质，从数学上看应该说来源于椭圆算子谱的离散性，并不依赖于区域的具体形状。任意的紧致区域，如果你用分离变量的方法来解的话，都要解一个椭圆算子的特征值问题。椭圆算子是Fredholm算子，谱是离散的。但是分离变量法给出的解有可能不完全，所以可能有非特征值的连续谱。另一方面，即使用分离变量法来解热方程或者波动方程，我们也可以类似的得到离散谱。但是这些离散谱的物理意义并不相同，没有人认为热方程具有量子特征，这说明仅仅依靠数学是不可能对这些离散谱进行判断的。数学不可能在任何意义上决定物理或者其他任何的自然现象。只是说物理学家用那些数学来描述自然界。数学和现实世界需要一个桥梁，但是数学自身并不提供这样一个沟通方式。这正好是数学不能看作自然科学的一个主要原因。

what “混合”?
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比如，非量子纯态、非相干态...（对前一个没有把握哈。处于同一个相干态是这样的，不同相干态的混合态构成非相干态就不是）。

再如，如果我没有记错的话，对于简谐振子，它的基态对应最小测不准状态，即测不准关系取等号的状态，而能级越高（声子数越多），测不准关系中，大于号>右边取的量就可以越大，这对应多个声子混合的情形。这种说法可能是不对的，我还没有仔细分析过。

也许我只能这样说：最小测不准关系是最基本的，是量子力学允许精度的底线:-)

有些方面，我期望将来有机会说得更清楚些

比如，非量子纯态

No. There are pure states which only statisfy >, and fully coherent.

对前一个没有把握哈。处于同一个相干态是这样的，不同相干态的混合态构成非相干态就不是）。



再如，如果我没有记错的话，对于简谐振子，它的基态对应最小测不准状态，即测不准关系取等号的状态，而能级越高（声子数越多），测不准关系中，大于号>右边取的量就可以越大，这对应多个声子混合的情形。

higher harmonic oscillator is different from many phonon mixture.

这种说法可能是不对的，我还没有仔细分析过。

then be careful about stating them as if they are true. There maybe beginner here trying to learn from you.


也许我只能这样说：最小测不准关系是最基本的，是量子力学允许精度的底线:-)

Sure. that's nothing new.

有些方面，我期望将来有机会说得更清楚些

谢谢sage兄指正。
我在原文这个地方只是启发性地提一句“可能..某种混合”，就是因为自己在猜测。

在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。
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“我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的”
改为：传统时频分析中的的窗口傅立叶分析是不够的。
“傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子”
改为：窗口傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子