三言两语相空间
在物理学中，由广义坐标和与之相应的广义动量构成的正则共轭对，它们的直和空间即是相空间，这个相空间构成Lorentz群的辛表示空间，在其上可构造辛几何，是分析力学的微分几何描述基础，也是几何量子化的出发点。相空间中的测度，具有作用量的量纲（最小作用量原理是经典力学的最基本原理，所以相空间比较特殊）。
如果说狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一成四维时空，那么量子力学似乎通过傅立叶变换让坐标空间与动量空间统一成相空间（这一点，分数傅立叶变换最明显，分数傅立叶变换相当于相空间坐标系中由坐标轴与动量轴之间的任意角度旋转，而通常的傅立叶变换是90度的旋转），在物理效应上进一步由不确定性原理体现出来。人们总是试图用经典力学来回归量子力学，其中最成功的就是把量子力学看作相空间中的经典统计力学。事实上，路径积分量子化的相空间表达进一步体现相空间与量子力学之间的渊源。当然，最小作用量原理在路径积分量子化那里不再属于第一性的原理，而是一个推论和经典近似的结果。
| 论坛嘉宾: sage |
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星空浩淼  发表文章数: 799
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 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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在对方程的解进行分析时（例如在非线性物理那里常有），也有相空间的概念（即季候风兄的那个回答），表面上看这跟物理学中的相空间似乎不搭岗，其实本质意义上仍然是一回事，只不过数学中更抽象化了。
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卢昌海  发表文章数: 768
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星空兄的这个系列很有潜力，期待看到更多。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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gauge  发表文章数: 596
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把相空间看作乘积空间是不正确的。比如，一个粒子在球面上运动，这时的相空间不可能是乘积的形式。通常粒子在3维欧几里得空间，相空间为6维欧几里得空间，虽然表面上看是两个3维空间的乘积，其实不然。
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卢昌海 发表文章数: 768
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一般情况下，相空间是如季候风兄在隔壁帖子中介绍的那样定义为位形空间上的余切丛。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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星空浩淼 发表文章数: 799
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谢谢昌海兄和gauge兄！
的确，帖子中常有一些叙述不够严谨，常常发了之后才发觉有些地方不尽如人意，通过大家一讨论一补充，就趋完善了。也许从物理学的角度进行论述有时可以马虎一些，有些在物理上有所特指，但是通过大家补充完善化了就更好。我发贴子大多都是凭过去的记忆有感而发，有时难免胡说八道了，呵呵！ 这里的讨论，我跟你们学到很多，颇有收获。gauge兄最近一系列的原创帖颇见功底，那个“热力学第二定理”更显知识面之宽广和了解之深入，跟你刚开始来这里时不显山、不露水甚至发言偶尔有些带刺的情形大不相同:-)。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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时间允许的话，我会把这个系列多写一些。
试图把相空间的定义一般化，似乎顾这样就顾不了那样。例如，如果定义成位形空间上的余切丛，也许就照顾不了所有的“广义坐标”，它的含义比较广泛，是不是所有广义坐标张成的空间都可以作为底空间呢？ 我试图把相空间广义地定义成其测度具有作用量量纲的空间，这样上面所说的“广义坐标”也包含场算子。在一次量子化意义上的波函数张成的空间，或者更严格的说，态矢张成的Hilbert空间，好像是纤维丛上的截面吧。对于二次量子化意义上的场算子时，如果它张成的空间仍然能够被定义成某个底空间，那么可以把相空间一般地看作余切丛。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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辛几何是可观察量代数的经典对应。或者说，辛几何是在量子化之前的信息。
Lorentz 群可以作用在有限个粒子的相空间，但是必须把时间和能量这一对共轭变量包含进来。这种有限维的相对论性相空间与量子理论不相容。 所以 Lorentz 群一般作用于无穷维的相空间 －－－ “场位形空间” 的 “余切丛”。对于自由无旋玻色场或者带荷的费米场，“场位形空间” 都是向量空间，其余切丛是无穷维辛向量空间。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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季候风兄的这个回帖令我如茅塞顿开，谢谢侬:-)
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sage 发表文章数: 359
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如果说狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一成四维时空，那么量子力学似乎通过傅立叶变换让坐标空间与动量空间统一成相空间（这一点，分数傅立叶变换最明显，分数傅立叶变换相当于相空间坐标系中由坐标轴与动量轴之间的任意角度旋转，而通常的傅立叶变换是90度的旋转），在物理效应上进一步由不确定性原理体现出来。
====================================================== There is Fourier transformation in classical mechanics as well. Uncertainty principle stems from the dynamics of the quantum mechanics. It cannot be derived from fourier transformation.
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星空浩淼 发表文章数: 799
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There is Fourier transformation in classical mechanics as well.
Uncertainty principle stems from the dynamics of the quantum mechanics. It cannot be derived from fourier transformation －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 谢谢sage兄的回复。 不错，Fourier transformation 在经典力学的意义上也在用，但是在那里，只要有人关心某种精度，就会给出类似测不准关系那样的东西，例如信号分析中，有时候需要分析信号在时域与频域的分布情况，通过Fourier分析，就会给出信号在时域宽度和频域宽度满足测不准关系，在这里的整个推导过程中，完全不用涉及量子力学的任何东西，仅仅凭Fourier分析。通信专业的本科生一般不学量子力学，但是信号分析是他们的专业必修课。 另一方面，在量子力学中，推导测不准关系表面看起来似乎跟Fourier transformation扯不上关系，但是追根索源，利用量子力学的一系列公理和概念定义，就会发现最终的“罪魁祸首”来自于Fourier transformation，它使得动量空间与位置空间关联起来。正因为如此，在量子力学的众多解释学派中，其中有一派就是试图去掉Fourier transformation，改用另外一种变换，以此达到动量和位置原则上可以同时确定的结论——这一学派也是属于“因果决定论”学派，总想试图证明，量子力学的随机性不是内禀的，而是象经典统计力学那样的随机性，自然界本质上仍然是因果决定论的。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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sage 发表文章数: 359
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另一方面，在量子力学中，推导测不准关系表面看起来似乎跟Fourier transformation扯不上关系，但是追根索源，利用量子力学的一系列公理和概念定义，就会发现最终的“罪魁祸首”来自于Fourier transformation，它使得动量空间与位置空间关联起来。正因为如此，在量子力学的众多解释学派中，其中有一派就是试图去掉Fourier transformation，改用另外一种变换，以此达到动量和位置原则上可以同时确定的结论——这一学派也是属于“因果决定论”学派，总想试图证明，量子力学的随机性不是内禀的，而是象经典统计力学那样的随机性，自然界本质上仍然是因果决定论的。
============================================================================== I disagree. There is no real physics in Fourier transformation itself. The root of uncertainty principle is in the dynamics of quantum mechanics. It does not follow from Fourier transformation at all. Saying so is mistaking a mere mathematical tool with a major dynamical fundation of QM. The major step is the choice of dynamical variable of QM and the interpretation of experiment.
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星空浩淼 发表文章数: 799
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sage兄质疑的地方，我将来如果有机会，细致的谈一下。
一般来讲，量子力学中对力学量的平均值、均方差这些定义都有积分表示，它们可以在动量空间或位置空间变换来变换去；一个在位置空间局域的波包，必然包含无穷多个不同动量分量的叠加；而只有无穷多个不同位置波函数分量才能叠加出一个给定动量的波包。例如，在动量空间的分布是Dirac δ函数时，则在位置空间的分布是从负无穷到正无穷；反之亦然。 你认为源自动力学原因，这也没有错（不然就不叫“测不准原理”了）。同一个东西，往往会存在多个不同角度的理解，彼此之间并不矛盾。 有人通过“掐断”傅立叶变换的方法，来达到位置和动量可以同时确定的目的。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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sage 发表文章数: 359
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一般来讲，量子力学中对力学量的平均值、均方差这些定义都有积分表示，它们可以在动量空间或位置空间变换来变换去；一个在位置空间局域的波包，必然包含无穷多个不同动量分量的叠加；而只有无穷多个不同位置波函数分量才能叠加出一个给定动量的波包。例如，在动量空间的分布是Dirac δ函数时，则在位置空间的分布是从负无穷到正无穷；反之亦然。
The fact that considering average of dynamical variable, mean squared, operator, etc even make sense for 1 degree of freedom is a major dynamical assumption for QM. They do not make sense in classical mechanics. Once you make those assumption, uncertainty principle trivially follows, fourier transformation adds no physical content to it. It is a trivial fact (mathematical rigor not withstanding) that fourier transform of a delta function is flat . However, without physical meaning by assuming it has something to do with the dynamics of particle, such trivial facts mean nothing to physics.
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萍踪浪迹  发表文章数: 1051
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：：有人通过“掐断”傅立叶变换的方法，来达到位置和动量可以同时确定的目的。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 这个方式不可能行得通 不确定原理看上去可以从Ｆourier变换的量子化中得到，但是本质上是微观粒子的特性（一个很恶俗的名字是：波粒二象性）导致的．所以想通过恰断数学方法来切除物理性质，无疑是缘木求鱼． 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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星空浩淼 发表文章数: 799
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由于现在我无法用数学公式在这里进行论证，因此恐怕谁也说服不了谁。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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有人通过“掐断”傅立叶变换的方法，来达到位置和动量可以同时确定的目的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 我举这个例子，并不是因为赞成这种做法，用这种办法来获得量子力学的“因果论解释”，无疑是荒唐的。例如，我很看不起的“双波理论”就是这样来的。尽管这个理论有若干教授做过，还培养了若干研究生，发表了N多论文，有许多方面能够得到跟传统理论一致的结论，但是也有许多丑陋的特征。 但是人家由此分析测不准关系的数学根源，这是有意义的，而且这世界上也远不止他们才意识到这点。 回萍踪兄：“傅立叶变换的量子化”这个说法很不规范，或者说没有这样的说法。“量子傅立叶变换”倒是有，但那是在量子信息与量子计算理论中才有。经典信息理论、信号分析主要基于傅立叶分析，相应地，量子信息理论就得基于量子傅立叶分析。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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sage 发表文章数: 359
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由于现在我无法用数学公式在这里进行论证，因此恐怕谁也说服不了谁。
========================================================================== this is not a question of mathematical formula at all. It is fundamental assumption of quantum mechanics. And, I am not trying to 说服 you.
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星空浩淼 发表文章数: 799
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将来有机会我再仔细论述以下吧，目前要做这个，要花相当的时间准备，目前我的处境是不允许的
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dfj 发表文章数: 186
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方程 d^2x/d^2t + kx^2=0 的解表示周期震动，
可是一个连接在弹簧上的物体到底是否这样运动，取决于这个弹簧是否满足胡克定律． 是这个意思吧？
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星空浩淼 发表文章数: 799
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弹簧满足胡克定律时，产生一种最简单的简谐振动。一般而言，实现周期运动的方案有很多，而且也可能不止一个周期，可能是同时存在多个周期。如果不同周期之间不可约，就会产生非周期或者准周期运动
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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：：将来有机会我再仔细论述以下吧，目前要做这个，要花相当的时间准备，目前我的处境是不允许的
==================================================================== 呵呵，虽然无法说服你，不过还是希望你小心些，违背物理基本原理的，数学上再漂亮也是浪费时间 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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Re: 三言两语相空间 
Re: 三言两语相空间