先打个广告。希望从以下几个方面来描述热力学第二定律，或者说与之相关的一些东西。
1，众所周知的一些事实
2，Poincare回归定理
3，遍历理论
4，平衡态涨落
5，和万有引力的关系
6，Markov链
7，最大熵原理
8，小概率事件
9，系综与概率
10，熵与时间箭头

每一个都可能很短，因为长的写起来就漏底了。另外不一定按照预定的顺序。确切的说，只是想从各个方面讨论一下热力学第二定律。最重要的希望大家拍转。

期待中...
涉及到比较专业的数学概念时，希望多花点笔墨略作解释

先谈一谈Poincare回归定理。最一般情形下的Poincare回归定理反而是最简洁的。这个定理可以如下简述，一个有限测度空间上的保测度变换具有无限回归性质。

测度空间可以看作定义了体积的集合，为方便起见，我们将测度叫做体积，因为二者显然是一回事。比如说通常的欧氏空间，又比如说相空间上可以赋予一个典型的体积形式。有限性是指这个集合本身的体积是有限的。对无限测度空间，回归定理显然不成立，比如直线上的任意平移变换都是保测度但没有任何回归性质。保测度变换设为A,是指这个集合到自身的映射，每一个子集和它的原象有相同的体积。无限回归性质是指任意一个点x的轨迹Ax,A^2x,A^3x,...对包含x的任意一个集合A,只要A的体积大于0,那么x的轨迹中一定有无限多个包含在A中，换言之，x的轨迹会无限多次回到A中。
这是离散形式的保测变换，显然对连续变换同样成立。

前面说过，相空间上具有一个典型的体积形式。我们考虑的物理对象的相空间具有有限的体积，符合回归定理的条件。而物理过程是保持这个体积形式的，所以满足回归定理。热力学体系也不例外。因而所有的粒子构成的热力学体系的相空间上的演化在充分长的时间后可以任意接近于其初始状态。

两个充分靠近的体系，我们有理由认为其具有非常接近的熵。
那么这就和热力学第二定律相矛盾，因为热力学第二定律断言熵总是增加的，一个永远增加的量不可能回到其初始值附近。
这个矛盾在Poincare回归定理刚刚提出来，就被一些人作为反对热力学第二定律的依据。

从逻辑上说，这的确表明热力学第二定律是有问题的。
物理学家的解释是，Poincare回归定理中，要回到初始状态附近可能需要极长的时间，这个时间可以如此之长比如超过宇宙的年龄而使得这事实上不可能发生。这是一个通常被采用的说法。
但是，我们对于一个理论的首要判据是没有内部矛盾，也就是说逻辑上自洽。我们为什么会无视这种逻辑上的漏洞而仍然坚持热力学第二定律是正确的呢？这需要一个解释。也就是说热力学第二定律是成立的，而我们又必须想办法消除这个逻辑上的漏洞。

但是，我们对于一个理论的首要判据是没有内部矛盾，也就是说逻辑上自洽。我们为什么会无视这种逻辑上的漏洞而仍然坚持热力学第二定律是正确的呢？这需要一个解释。也就是说热力学第二定律是成立的，而我们又必须想办法消除这个逻辑上的漏洞。

Well. Second law is only true in the statistical sense. This is commonly accepted.

Of course there is always a probability that things can be reversed, entropy could decrease for isolated system. It is a misunderstanding of the second law to say otherwise.

I don't see there is anything wrong with the fact the system could go back to its original states. For any particular system, as long as it takes a long time, and in the meantime, system goes through a large number of states, it is always true statistically. One can easily construct counter examples where this is not true.

Poincare回归定理怎么有点象是“遍历定理”，或者二者之间存在某种关联？各态历经：ergodic

在我的理解中，遍历性是取系综平均的一个依据，尽管最可几平均占据了主要贡献。

“遍历定理”，或者二者之间存在某种关联？各态历经：ergodic
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Actually, I never sense there is any real mathematical theorem to be proved here. It is very easy to construct systems where this does not happen, and system that actually go through a lot of states, and systems in between. So, what is a theorem going to say?

Actually, to justify statistical average over ensembles, the only requirement is that system goes though so many states that the error for averaging over everything state is within the required precision. Therefore, we never demand going through all states. How many states a system must go through to justify our statistical treatment is always determined by the physics question we want to ask.

sage兄说的是。

另外，我记得各态历经性是一个公设，不是被数学证明的定理；其中“基本事件”的等几率假设，是各态历经性成立的前提。

:: Poincaré回归定理怎么有点象是“遍历定理”，或者二者之间存在某种关联？各态历经：ergodic

各态历经假设（或准各态历经假设）如果成立，则Poincaré回归必定存在；但反过来则不然，Poincaré回归定理只是说相空间轨迹必定会回到起始点的任意邻域内，而不是任意点的任意邻域内。

:: 在我的理解中，遍历性是取系综平均的一个依据，尽管最可几平均占据了主要贡献。

各态历经假设如果成立，则系综平均等于时间平均（这被称为各态历经定理）；但反过来则不然，并非只有满足各态历经才有可能使系综平均等于时间平均。

谢谢昌海兄的helpful回复！

另外，我觉得，从量子力学的路径积分表述的思想来看，把粒子运动规律归因于最小作用量原理的做法，相当于取“最可几平均”，而把粒子运动规律归因于对所有路径跃迁振幅进行求和的结果，则相当于取“系综平均”。前者作为经典力学的原理，只是后者的近似。在后者那里，并不仅仅考虑了最可几路径上的贡献.

我楼上的类比可能表达得很不好,没有说清楚.
以前我学温度场论时(是分析夸克胶子等离子体的理论基础),感觉量子场论与量子统计之间那种微妙的类比(比如时间对应虚数温度),真是奇妙.

有人试图给出量子力学的解释时,试图把它看作相空间中的经典统计力学,可惜分布函数不是正定的(如果考虑测不准关系,则是正定的,但是一旦考虑了,就不是经典统计力学,违背初衷).量子力学本身就是统计力学的,所以量子场论与量子统计之间那种微妙关系也许不难理解.

Sage兄说出了答案，我还是得完成那些已经许诺的文字。

我们先来看一下引力和热力学第二定律的一个矛盾。恒星由一团巨大的气体开始，在引力的作用下收缩而来。那一团初始的气体可以看作已经处于热平衡状态，也就是完全的无序，逐渐演化为一颗恒星，而恒星相对于那一团气体而言要有序得多，或者说具有更小的熵。这显然是和第二定律矛盾的。

解决这个矛盾其实并不难，只需要一些计算就够了。因为我们直观上认为“恒星相对于那一团气体而言要有序得多”，这并不一定正确。恒星相对于气体而言具有更小的体积，因而其空间位置的不确定程度较小，但是恒星的温度高得多，因而具有大得多的分子速度。而熵需要对这两个因素进行比较。所以这需要一个计算。具体的计算可以参考Baez的Notes之一.这些计算说明我们在前面所描述的是一个表面上的矛盾。

当两个物理定律发生矛盾时，我们首先要分析这是表面上的矛盾呢，如上述，还是本质的，如Einstein的相对论。当一个物理定律和热力学第二定律矛盾的时候。如果我们排出了这只是一个表明上的矛盾而发现这个不协调是本质上的，因而我们必须改变其中的某一个。在这种情形下，我的看法是坚持第二定律，修改另外那个物理定律。究其本质，热力学第二定律看起来实际上是一个数学定理。而“否定”一个数学定理只有一个办法，就是其前提不成立。但是我看不出来有任何理由表明第二定律的数学证明的前提能够被破坏。一个物理定律有一个数学证明，这是一件很不寻常的事情。当然这个数学证明需要我们的另一些假设，但是这些假设如此自然、简单，难以想象它们实际上并不成立。

我们来谈谈最大熵原理。刚接触到最大熵原理的人很容易被这个原理所迷惑，因为他们认为这是一个美妙的原理，不仅仅是数学上的简单易行，而且有很多实实在在的客观现象符合这个原理。事实上有不少的人最终都没有能够跳出这个迷魂阵。

我们简单回顾最大熵原理。假设我们希望确定某个概率密度函数p.而我们对于这个概率密度函数有一些了解，比如可能知道其平均值或者方差。当然这两个特征远远不足以确定p.但是在所有的概率密度函数中有一个具有最大的熵，对我们举的例子，亦即具有给定的平均值和方差的概率密度函数中最大熵分布是正态分布。正态分布无所不在，因而以这种方式得到正态分布多少还是另人吃惊的。

另一个例子，假设大气分子的平均位势是一个给定的量，这时满足这个约束条件的具有最大熵的分布为指数分布。而这确实符合大气分布。

热力学体系在平衡态具有最大熵是众所周知的。反过来也容易证明，具有给定温度，亦即给定分子的平均动能，此时的最大熵分布就是Boltzmann-Mawell分布。实际上，最大熵原理就是产生于统计力学。而Jaynes大大扩展了这个原理的用途。或者可以说如果没有Jaynes的工作，我们今天不会如此关注最大熵原理。不知道可不可以说有一个最大熵原理的Jaynes主义。

最大熵原理并不是一个真正的原理，也就是说，我们在各种约束条件下得到了最大熵分布。但是这并不能作为该分布的原因。比如，我们知道正态分布是因为有大量而又微小的随机因素的共同作用。而指数分布的本质是无记忆性。因而，对于“最大熵原理”这个名词来说，我觉得不如叫作“最大熵原则”。我的意思是，选择最大熵分布有其合理之处，但这仅仅是一个指导原则。我们并不能有一个通用的方式来解释为什么要选择最大熵分布。

当然，最大熵分布是有其数学基础的，就是Shannon的渐近均分定理。这个定理就是熵的大数定律，可以粗略的描述为差不多所有的事件出现的概率都一样，或者说几乎所有事件都令人感到同等意外。换言之，最大熵分布包含了最多的可能性。准确的描述需要参考专门的书籍。

最后有一个简单的结论，就是最大熵原理是通用的，就是说，任意的一个概率密度函数，都是某个约束条件之下的最大熵分布。这个通用性一方面可以用来说明最大熵原理的广泛性，然而这是一把双刃剑，它也同时刺伤了自己。万能的原理有很多缺陷。而最大熵原理最大的不足还是在于前面提到过的，我们没有一个统一的方式来解释为什么客观世界和最大熵分布相符。

因为熵有一个完全主观的解释，就是信息量。所以我们用最大熵原理来描述就是一个主观的推断方式。而我们并不能先验的知道其结论是合理的。

从信息量的角度看，最大熵原理也可以这样解释，我们对于客观世界的知识就是约束条件，对此，我们不能在添加额外的条件，或者说额外的约束条件实际上相当于我们对于客观世界具有更多的知识。在这些约束条件下得到最大熵分布，我们将这个分布作为客观对象的真实概率分布。最大熵分布是我们最难以了解的概率分布，因为它具有最多的信息量。

从这个解释看，我们可以如此解释热力学平衡状态的分布为什么是最大熵分布，也就是说温度是热力学体系的宏观量，而且是我们唯一可以了解的宏观量，因为这是我们的全部的约束条件。这是我想到的一个解释。当然，从数学上的严格性来说，这个说法还欠缺一点东西，不述。

对于最大熵原理，能够从网络上找到很多资料，我的简述就此打住，有兴趣者可以上网搜索。

请gauge兄谈谈考虑量子效应之后热二的问题。

这是另一个讨论不确定性原理与信息论的关系的帖子，转述如下，其中有一个错误。

热力学第二定律的一个数学上的证明可以这样叙述。

首先，热力学体系可以看作一个Markov链或者Markov过程。

然后可以证明给定时刻的Kullback-Leibler divergence是永远减小的（原贴是增加，搞反了）。

最后由信息论或者凸函数的性质可以知道，当体系达到均匀状态时具有最大熵。而Kullback-Leibler divergence是相对熵，它和绝对熵有一点差别。

但是如果在其中作为比较标准的那一个概率分布为均匀分布时，则相对熵和绝对熵之间相差一个常数。由此合起来就得到热力学第二定律的证明。

Kullback-Leibler divergence可如下定义。设p(i),q(i)为两个概率，则其KL divergence为
KL(p||q) = \sum p(i) log p(i)/q(i),
可以解释为从q的角度看p的熵。因为上时可写作
KL(p||q) = \sum[p(i)/q(i) log p(i)/q(i)] q(i).

设N为体系的总的状态数。若q(i)=1/N,即q表示均匀分布，容易证明此时具有最大熵。则KL divergence为
KL(p||q)=\sum p(i) log p(i)-p(i) log 1/N = -H(p)+log N.
其中H(p) = - p(i) log p(i) 为概率分布p的熵。

因而由KL(p||1/N)的单调减小可知 H(p) 为单调增加的。也就是说这样的Markov过程将趋向于具有最大熵的分布。

我们来谈谈熵与时间箭头。主要目的是讨论一些通俗的例子。

从数学上看，熵的定义如下，设p={p(i)}为一个概率分布，则p的熵定义为
H(p)=-\sum p(i) log p(i).

熵是一个引起过巨大争论的概念。引述一段话如下

When Shannon had invented his quantity and consultd von Neumann how to call it, von Neumann replied:"Call it entropy. It is already in use under that name and besides, it will give you a great edge in debates because nobady knows what entropy is anyway."

对于熵的本质，即使现在，仍然为众多的人津津乐道，比如熵可以表示信息量、复杂度等等。从数学上看，熵就是熵，不是别的，就是那个表达式。当然这个熵具有非常多的良好的性质，而我们对于熵的讨论其实是基于这些性质。

我们看到，只要有概率分布就可以定义相应的熵。因而熵是多种多样的。比如，可以有热力学的熵，可以有表示信息的熵，也可以有抽象的概率分布的熵。熵不是唯一的。即使对于现实世界，熵也不是唯一的。

对于热力学熵而言，随着时间的流逝，熵也一直在增加着。也就是说熵能够用来反映时间的流逝。我们通常用例子来说明这一点。我们来看看这些例子。我们要说明这些例子并不恰当。

如果你的书房长期任其自然而不加整理，将会变得越来越乱。这个乱被解释为熵。于是这说明了熵的增加。然而，这个熵不是热力学熵，它只是为数众多的熵中的一种。

另一个例子。桌子上的玻璃杯掉到地上摔碎。破碎的玻璃杯比起完整的杯子具有更大的熵，这是很直观的。我们通常将这一点和热力学熵直接挂钩，这也是错误的。这个混乱程度的衡量和热力学熵毫无关系。考虑如下几点即可。1，一个大的盒子分成若干个较小的盒子，每一个都装着完全一样的出于热平衡的气体。那么这些盒子放到什么地方并不影响总的熵。也就是说在玻璃杯事件中我们有两种衡量混乱程度的量，一个是热力学熵，另一个是基于我们的直观的混乱程度，虽然二者都增加了，但它们本身并不一样。2，虽然所有的物理现象中，熵都增加，但并不是所有物理现象都要归结到用熵来解释。比如，玻璃杯子摔下来的过程中，光速仍然是常数，但是没有人说这两者有什么关系。

对于最大熵原理，其实我还在做进一步的认识。下面谈谈这几天看的一些东西。

在上一个关于最大熵的讨论的帖子当中，其中我们谈到正态分布是平均值和方差给定的分布当中具有最大熵的，而正态分布本身，我们一般是这样认识的，就是大量的（其实是无数的）小的随机因素的合起来产生的作用。当时我们谈到二者不一定有关系。在去年发表的一篇论文中，证明了这样一个定理，n个独立同分布的随机变量的标准化后的熵，随着n的增加是严格增加的。这个定理说明，中心随机变量序列是向着最大熵分布“演化”的。这表明最大熵分布和正态分布有着本质的联系。

另一篇较早的论文证明了离散情形下向着Poisson分布的演化，熵也是严格增加的，而且最终趋向于最大熵分布。

Gauge兄写得不错:)

平衡态的统计热力学是基于系统所有状态的等概率原理, 是针对完全无序下的统计方法。但是很多开放却表现出随机和有序双重特性，这是具有长程关联特性或分形特征的系统。Tsallis提出了适用于此类系统的非广延统计热力学，即考虑了有序和无序双重特征的统计分析,简称Tsallis统计，这已在湍流、经济学等领域获得重要应用。

我们来讨论一下系综这个概念，先说明一下，把这个讨论放到热力学第二定律的讨论当中并不恰当。这里我们不讨论系综和热力学定律的关系。而只是讨论系综这个概念本身。先抄一段话如下

“系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。系综的一个基本假设是 各态历经假说：只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。”

系综到底是什么呢？

回顾数学和物理的关系。物理学中的概念总是会进入数学研究的视野。因而那些完全定型的物理理论中的所有概念都可以在数学中找到对应的说法。但是有几个例外，其一是路径积分；另一个就是系综。路径积分在数学上海还不能够严格化，现在对于路径积分的数学研究还正在进行当中。而系综理论则在数学中没有任何地位，也没有任何讨论。然而它本身是很简单的，并不是因为数学上还没有对系综理论给出一个好的解释。

实际上，系综理论只不过是物理学家对于概率的一个解释而已。系综实际上就是样本空间，然后赋予一个均匀的概率，即样本空间为有限的集合，每个点赋予相同的概率。

借助于那些实际上不存在的对象来思考问题仅仅是一个方便而已，这些对象的存在与否并不因为我们的思考而改变。而现代概率论的公理化就是要排除这种对于概率的先天的解释，这也说明现代概率论的本质并没有成功的进入物理学或者哲学，实际上对于量子力学的哲学解释的大量的论争都是基于概率的本质含义这个本身就不能精确化的概念。实际上，概率就是概率，既不是频率也不是我们的信念。概率就是概率，对于概率的本质是无法给出一个先验的证明的。任何一个理论总得有一个出发点，最基本的出发点不可能得到证明，最多可以在某种程度上予以说明罢了。实际上很多人，比如Jaynes早就知道量子力学的很多的论战都是因为对于概率的不同的解释所造成的。但是，很遗憾的是，Jaynes本人的概率观念就带有先天的不足。Jaynes的做法只不过是用主观信任度的概率论来代替频率主义而已，这恰好走到了另一个极端。

总之，从概率论的角度看，系综不是一个必需的概念。

借助于那些实际上不存在的对象来思考问题仅仅是一个方便而已，这些对象的存在与否并不因为我们的思考而改变。而现代概率论的公理化就是要排除这种对于概率的先天的解释，这也说明现代概率论的本质并没有成功的进入物理学或者哲学，实际上对于量子力学的哲学解释的大量的论争都是基于概率的本质含义这个本身就不能精确化的概念。实际上，概率就是概率，既不是频率也不是我们的信念。概率就是概率，对于概率的本质是无法给出一个先验的证明的。任何一个理论总得有一个出发点，最基本的出发点不可能得到证明，最多可以在某种程度上予以说明罢了。实际上很多人，比如Jaynes早就知道量子力学的很多的论战都是因为对于概率的不同的解释所造成的。但是，很遗憾的是，Jaynes本人的概率观念就带有先天的不足。Jaynes的做法只不过是用主观信任度的概率论来代替频率主义而已，这恰好走到了另一个极端。


I don't think the precise definition of probability will affect the physics interpretation of Quantum mechanics at all.

No matter how you define probability, wave-function collapses, states superpostion, interference appears. coherence is the key fact of life.

正如sage兄所言，概率论当然不可能解决所有的关于量子力学的争论。但是可以减少一部分不必要的争论。使用概率论并不能给出更多的物理上的东西，但是可以对于其哲学解释给出一些帮助。

我们在前面提到过现代概率论都用公理化的方法来处理，其目的是为了避免对于概率先入为主的引入一种人为的解释，比如频率主义或者Bayes主义。而现代统计理论的一个重要观点是，对一个随机变量独立地进行N次测量，和对N个独立同分布的量分别测量1次，得到的结果完全一样，就是说从统计上看是无法区分这两组测量的。但是要完全接受这个观点并不是那么容易的。
比如，热力学体系，考虑理想气体，亦即含有N个独立的相互之间没有作用的粒子。按照统计的观点，粒子的速度分布可以解释为单个粒子，其速度满足Maxwell分布，亦即这个粒子在充分长的时间段中的速度分布也将满足Maxwell分布。当然，对于单个粒子，这样做不满足能量守恒，考虑两个粒子构成的体系即可。但是这样解释热力学体系，理解起来变得更加困难了。注意到这种解释只是针对概率分布而言。如果要把体系随时间的演化也包含近来，那么需要扩充上面的做法。
热力学中的概率统计方面的概念在现代概率统计中都有相对应的说法，当然，比较起来，热力学自身的概念更容易理解。

本人概率论水平很差，只是我觉得，只要知道相关名词的含义，不需要学习其它更多的东西，就很容易在大学的概率论考试中取得好成绩；俺当年就是这样的；不知道这是否能说明什么。

这些都是哪个层度的内容了？

PS：因个人手术原因，才整整3个月没来，大家讨论的内容我一个都看不懂了，真是深感惭愧。
不过我不会怕的，因为我会把这里的朋友当作自己的榜样，加倍努力学习。
也请大家不吝教导教导一下我这个初学者。在此深深表示感谢---谢谢大家！

一个数学定理只有一个办法，就是其前提不成立。但是我看不出来有任何理由表明第二定律的数学证明的前提能够被破坏。
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我有点不明白热力学第二定律的数学证明的前提是什么?
请gauge兄解释一下.

http://www.answers.com/

用这个东西查阅一下吧，总比在这里说这些毫无新意的话要来的直接一些。

打破传统的观念，才能反应出有新意的论点以及论据。清算一下已有的这些思想，没有一个可以正确地表述出热力学第二定律的真正面目。

系统本质是动态的系统，静态的分布是无法表述的，即便是加入了“涨落”这个动态概念，现有的进展也是不能将其与动态的热力学系统统一起来的。耗散结构虽然把系统开放了，可是我们在思考这些问题的时候，眼中看到的仍然是一个分裂的系统！

这就好比我们在学习量子力学的时候默认电子云的图示一样，换成热力学第二定律，只不过是换汤不换药地变换了一个讨论的对象或者名词。

另外，热力学第二定律的最新定义和改动，请参考阿特金斯系列的物理化学第八版，也就是06年3月份的最新版本，或者直接访问专门讨论热力学第二定律的国际网站：

http://www.2ndlaw.com/

:: 用这个东西查阅一下吧，总比在这里说这些毫无新意的话要来的直接一些。

rn86网友请注意语言礼貌。欢迎你推荐东西，但请不要随意贬低他人的文字。哪怕Wikipedia或其它网站有很全面的论述，也不等于网友们就不能谈论同样的话题了。如果网友的文字都要谈出他人从未谈过的“新意”，那世界上多数论坛都得关闭。

遍历理论是数学中的一个重要分支，我们简要回顾一下其历史以及一些与热力学有关的事实。

遍历理论植根于热力学。与遍历有关的最早的说法可以追溯到Boltzmann.Boltzmann基于物理上的考虑，首先提出了热力学体系的各态历经假设。这是遍历的一个直观的说法，就是说相空间的每一个状态都可以达到。这个说法是不严格的，因为一个给定的体系在每一个时刻都只对应着相空间中的一个点，因而力学系统就是相空间中的一条曲线。因而Boltzmann的假设相当于要求这条曲线能够充满整个相空间，如果不要求曲线是可导的，那么这样的曲线确实存在，但是如果要求曲线适当光滑，那么这样的曲线并不存在。而力学系统对应的曲线肯定是光滑的。所以Boltzmann的各态历经的说法是不正确的。

但是Boltzmann的假定从物理上看是合理的。因而数学上必定有一个恰当的描述，各态历经的思想是正确的，但是其Boltzmann叙述方式是错误的。数学上对此的修正就是将各态历经改为遍历。我们简要的定义一下遍历性。

设有一个总体积有限的空间X, 对于X上的一个变换T, 假设T保持X上的体积，确切的说，对于X的任意子集A,T(A)和A的都有相同的体积。比如相空间上的Hamilton流动就是保持体积不变的。对这样一个保持体积的变换T,如果T不变的集合只有全空间X, 亦即，若T(A)=A则A=X.这样的T就称为遍历的。

当我们有了遍历这个概念后，那么Boltzmann假设可以叙述为：热力学体系是遍历的。这是对Boltzmann假设的一个比较准确的陈述。此处，我们仅仅称之为“比较准确”是有原因的，见后文。另外，动力系统中还有几种更强的遍历性，不述。

Boltzmann认为，热力学体系在空间上的平均值和时间上的平均值相同。这是他提出各态历经假设的出发点。

遍历理论的第一个重要的数学上的工作是Von Neumann给出的平均遍历定理。Von Neumann证明了，若T是遍历的，则对任意函数f,(Tf+T^2f+...T^nf)/n收敛到f在相空间的平均值。其中T,T^2,...,T^n可以看作是离散的时间序列。Von Neumann定理中的收敛性是指Hilbert空间中的收敛。这是1931年Von Neumann得到的。虽然定理的证明很简单，但是Von Neumann认为在他的大量的研究中，这是他最要的3个工作之一。Von Neumann的定理正是Boltzmann希望得到的。上面对于遍历定理的叙述是针对离散变换T而言，很容易将之推广到连续变换的情形。

一年后，1932年，Birkhoff证明了极大遍历定理，定理的叙述可以说与Von Neumann定理相同，区别在于收敛的含义不同，此处的收敛性被称为几乎处处收敛，或者用概率的话说就是几乎肯定收敛(almost sure).当Birkhoff定理的定理发表后，遍历论得到了极大的发展。Birkhoff极大遍历定理被认为是开创了遍历理论。我们顺便讨论一下为什么不认为Boltzmann或者是Von Neumann开创了遍历理论。Boltzmann的思想含混不清，连他自己都不能将遍历说得清楚明白，因而不被认为开创了遍历理论是很自然的。而Von Neumann的定理本质上是一个泛函分析的定理，相比之下，Birkhoff的定理就明白无误地显示了这是一个动力系统的问题。当然实际上，即使只有Von Neumann定理，而没有Birkhoff定理，对于我们理解热力学也没有多大的差别。

但是我们知道存在不是遍历的力学体系。也就是说，如果仅仅在普通的力学体系中考虑，遍历假设是没有根据的。为什么一个热力学体系一定就是遍历的呢？Boltzman的这个假设被称为热力学基本假设。我们能对这个假设说点什么吗？比如说以一种合理的方式来说明这个假设，换言之，使得这个假设成为合理的。当然我们需要明确合理一词的含义。

比如，如果我们能够说明热力学体系中的大多数都是遍历的，换言之，不是遍历的热力学体系其实很少，以至于可以忽略掉。那么，“大多数热力学体系”这个说法中的“大多数”又是什么意思呢？数学中能够用来表示“大多数”或者“极少数”这个说法的概念不多，我们列举如下，测度空间中的0测集，拓扑空间中的第一纲子集，代数簇的低维子簇。这里合适的只有第二个。然而有一个定理说明，在这个意义下的，一般的力学系统不是遍历的。注：如果有人认为数学家定义的大多数或者极少数这个说法有问题的话就不要浪费口舌了。

但是，我们知道Boltzmann假设必定是正确的，只是我们在某个地方的理解出了差错。哪个地方呢？重新审视整个理论，可以发现我们对于热力学体系作出的数学抽象的第一步可能就不正确。为了简单，我们总是假定粒子是一个点。实际上，粒子特别是通常的热力学中的气体分子，肯定不是点状的。看作一个点仅仅是一个近似，而这个近似不可能普遍正确。

事实上，如果将粒子看作是一个弹性硬球，那么可以重新叙述Boltzmann假设。这是一个更加接近于真实热力学体系的模型。这是Sinai在1960年代的开创性的工作所引出来的，现在被称为Boltzmann-Sinai假设。这个假设是成立的，2004年，Simanyi在一系列论文中证明了这个假设。

Boltzmann-Sinai假设得到证明至少在某种程度上使得我们确信遍历是普遍的，因而遍历假设是很合理的。这是非常接近于Boltzmann思想的假设，或者说这就是Boltzmann最初所希望的事实。当然，这个假设现在可以叫做定理了。

但是，现实世界比Sinai的台球模型复杂得多。比如粒子在相互作用时可能会有微小的变形。从这个意义上说，对于遍历假设的理解还远远没有结束。

柏格森和怀特海的作品确实值得我们看看。
普里高津最后其实他已经放弃了玻尔兹曼的那种“在可逆的微观动力学理论基础

上来建立宏观不可逆的演化过程”他坚持“微观动力学也应该是不可逆的”并提

出了一套取而代之的“微观不可逆动力学理论”（但好像还没有实验佐证）
还有我想问两个“问题”：
1用庞加莱复现定理来诘难H定理的那个策梅洛跟搞公理化集合论的那个策梅洛是什么关系，是同一个人吗？
2第一个把信息和熵联系起来的那个西拉德跟那个建议罗斯福大人造原子弹的那个西拉德是不是同一个人？
有没有专门查外国人姓氏的英汉词典？我想买一本。

柏格森和怀特海的作品确实值得我们看看。
普里高津最后其实他已经放弃了玻尔兹曼的那种“在可逆的微观动力学理论基础

上来建立宏观不可逆的演化过程”他坚持“微观动力学也应该是不可逆的”并提

This is completely inconsistent with the microscopic physics as we know it.

非常受益,谢谢Gauge兄:)

偶特别希望Gauge兄或者其他兄弟能够开一个专贴,详细地谈谈Birkhoff对遍历理论的考虑,以及关于测度问题和刘维尔定理相联系的评论.在这方面偶还是有些困惑,但又非常重要.

另外Kanex兄说得是对的,玻尔兹曼对于系统演化的证明是不充分的,对于多原子的分子体系,碰撞过程中的量子效应是需要考虑的,这方面已经有了很好的工作.

我们已经看到热力学第二定律的诸多特征，
1，普遍成立，即使某个现象与之矛盾，我们也是优先考虑我们对于新的现象的解释是否正确。
2，有数学证明
3，平衡态有涨落。如果熵一直增加，而平衡态有最大熵，那么平衡态就不可能有涨落。
4，与回归定理矛盾
实际上这些矛盾都可以在统计的意义下解释，亦即：热力学第二定律仅仅是一个统计定律，其断言是在某个很接近于1的概率下成立。如此，上面所有的问题都不存在。

在用热力学第二定律来讨论时间箭头时，人们大都忘了这个统计性质，因而热力学第二定律被粗略的叙述为“熵永远是增加的”。比如Hawking,Penrose等人的相关讨论。我们从来没有去追究过热力学时间箭头的统计意义。按照统计解释，热力学时间箭头的方向将允许以一个很小的概率反转过来。Penrose热衷的“低熵的起源”问题，同样没有顾及熵的统计性质。当然，很难说这个很小的概率到底对时间箭头的方向有多大的意义。但是同样令人奇怪的是我们通常假装这个小概率等于0以致于并不认真的对待它。

由前述的定理，现在我们可以放心的接受Boltzmann的假设了，亦即热力学体系都是遍历的。因而体系的空间平均和时间平均相同。确切的说，设体系的演化由A_t表示，则
\lim_{T->\infty} \int_0^T f(A_tx)dt /T = \int_{\R^3} f(x)dx
即f在时间[0,t]内的平均值近似于f的平均值。当T很大时，前者可以很接近于后一个平均值。

有一个通常的说法，要使得时间平均大致上等于空间平均，需要的时间为Poincare回归定理所确定的时间。这是一个错误的说法。实际上，这个时间是一个充分条件，而不是必要条件。也就是说，达到这个时间，时间平均可以充分逼近空间平均，但这个时间可以缩短。因为热力学体系可以很快地达到平衡态，如果真的需要回归定理所要求的时间，那么热力学体系根本不可能达到平衡态。

我们对比一下与热力学有关的另一个数学理论。有时候我们用热方程来描述热量的传递。热方程的解可以用Fourier变换很方便的求出来。结果，我们发现热方程描述的热传导具有无穷大的速度。当然这说明热方程只是一个近似而已。

这个对比很有意思，一个（错误的）断言无穷大的传导速度；另一个认为几乎需要无穷的时间（回归定理的时间，这个当然也是错误的）。

gauge写得相当好，物理论坛上大部分帖子，有些是没有兴趣，有些是有兴趣但是看不懂，但是这一系列，呵呵，就不说了，欣赏之。如果gauge能够整理成一偏完整的文章，那就太好了！

Equilibrium, in essence, has nothing to do with recurrence and consequently does not need recurrence at all.

A system driven off, but not far off, equlibrium, can quickly restore to equilibrium because of maximum entropy of equilibrium. Without recurrence, equilibrium is still the most probable state a near-equilibrium system would "choose".

Even for a far-off-equilibrium system, recurrence has little chance to make its influence.

Recurrence is a phenomenon at microscopic scale whereas equilibrium is a phenomenon at a completely different scale. One is related to dynamics while the other to thermodynamics.

Had the recurrence not existed at all or had it have a different form, equilibrium is still quickly reached for a near-equilibrium system.

In summary, recurrence is basically irrelevant and useless (harmful, to be precise) when one deals with equilibration of macroscopic systems. Better forget it than expect its imaginary power, for all practical purposes.


>我们对比一下与热力学有关的另一个数学理论。有时候我们用热方程来描述热量的传递。热方程的解
>可以用Fourier变换很方便的求出来。结果，我们发现热方程描述的热传导具有无穷大的速度。当然
>这说明热方程只是一个近似而已。

I'm afraid that's not true. The transport coefficient is explicitly included in the heat equation (or other transport equations such as diffusion, electrical conduction etc) and it is never infinite. I wonder how you reached the conclusion that 我们发现热方程描述的热传导具有无穷大的速度?


>这个对比很有意思，一个（错误的）断言无穷大的传导速度；另一个认为几乎需要无穷的时间（回归
>定理的时间，这个当然也是错误的）。

Both of above assertions are imagined straw man. Both are baseless, or based on misunderstanding, unfortunately, or fortunately.

按照我的本意，一般不会回答跟贴后面的问题。不过对于laworder的评论，不得不做出点表示。

翻一翻任何一本数学物理方程的教材，看一看热方程的解的表达式，分析一下每一个点的决定区域和影响区域，正如波动方程所描述的波动现象是以有限速度传播的一样，很容易看出热方程描述的热传导具有无穷大的速度。所有的热方程和扩散方程的传播速度都是无穷大，这是偏微分方程的一个入门的基本常识。其原因我已经说得很清楚了，这是因为热方程只是一个近似规律。

另一个问题。我们并不是在谈论热平衡态，而是在谈论从一个一般的状态向平衡态的演化过程，以及这个过程所需要的时间。而且我只是说某些人会根据遍历定理得出一个错误的时间。我仅仅是指出有些人会犯的一个简单的错误而已。