原创有两种：一种是把自己掌握的知识，连着自己的心得体会和独门秘诀传授给大家；另一种是更强意义上的原创，直接谈自己的一家之言。我翻了翻我在老客栈过去发的帖子，发现本人的原创贴百分之八十属于后一种。这次我也不例外。新客栈伊始，coho兄发了一个主题很好的帖子，为了庆祝新客栈开张大吉，我来附和一个（由于近来私事繁忙进入闭关之中，若有需要我本人回的帖子，目前我不一定能回帖，见谅）。

说说位置空间和动量空间之间的对偶

狭义相对论通过Lorentz变换公式使得时间和空间关联起来，为我们提供一个统一的“四维时空”概念；而量子力学进一步地通过不确定关系把位置空间和动量空间关联起来，为我们提供一个统一的相空间概念。这还可以通过傅立叶变换（尤其是分数傅立叶变换）以及相空间中的量子力学表述来体现这一点。相应地，我们可以把坐标空间和相应的共轭动量空间看作相空间互补的两个方面。相位的叠加干涉是体现量子力学的本质特征之一，而相位有相空间测度的量纲。事实上，从一个统一的观点来看，支配力学系统的一般运动规律的描述，是最小作用量原理；而作用量总是对应相空间的某种测度。

也许真实的空间是相空间，而位置空间和动量空间不过是它的两个互补的侧面。由于量子力学效应（不确定原理），地球人类只能盲人摸象。我已经使用了很久的签名档是Pauli先生的一段名言，说的就是不确定原理。

如果把时空空间取作底流形，把这个底流形上的余切空间看作动量空间，那么我在这个帖子中所谈论的话题相当于论“底流形与其上的余切空间之间的对偶”，认为底流形和余切空间是统一的余切丛的两个侧面。为了研究这个idea，我曾经专门去熟悉辛几何和几何量子化的内容，用了半个月时间从复习到学习，把微分几何的基本内容学了一大半，最后虽然目的没有达到，对微分几何却有了进一步了解。

好了，言归正传。研究位置空间和动量空间之间的对偶，一个最有力的想法是：传统量子力学从能量动量关系E^2=p^2+m^2出发，把经典力学量换成算符，作用于波函数得到量子力学方程；那么，我们是否也可以从时间空间关系式t^2=x^2+τ^2出发（τ是固有时），采用类似手段得到一种对偶的量子力学呢？当然，要达到这个目的，还需要一些物理条件需要主义。比如在传统量子力学中，四动量中只有三个是独立的（因为E^2=p^2+m^2），而时空坐标对应四个独立变量；同样地，在对偶力学中，时空坐标对应三个独立变量，而需要引入能量平移参数来使得四动量对应四个独立变量。当某个量F对w的微分为零时，就说F对w守恒，这是对守恒概念的推广（不再是狭义的不随时间变化）。

可惜的是，这样的东西提出来，如果没有给出一个具体的物理模型，那只是一个数学模型，属于空谈。
我后来发现，历史上，各种类似努力还不少（包括某些大牛）。比如把传统的量子力学波函数称为“质量本征态”或“粒子态”，而把由关系式t^2=x^2+τ^2出发给出的量子力学描述的态，称为“时空中的事件态”。可能始终找不到具体的物理模型和实际应用，这些努力始终沦为边缘研究。

本人既然写这个帖子，当然想表明这类研究是有价值的。比如本人无意中发现了具体的物理模型，可惜目前只在（1＋1）维时空中找到。对于我而言，这已经够了。

（谨以此帖，恭贺新客栈开张大吉！祝愿新客栈越来越旺！来此的网友们也越来越旺！）

补充一下：

在相对论量子力学中，作为对称算符的时间算符，其亏指数（deficiency index）是(0,0)，因而是自共轭的。这跟以下事实有关：相对论量子力学方程的一般解中，同时包含正频解和负频解两个部分。换句话说，由于荷共轭对称性，时间算符是自共轭的。至于Pauli关于时间算符的存在定理，在相对论情形下不再适用。这反过来也表明了，从非相对论量子力学到相对论量子力学，时间和空间变得“平等”起来。

不好意思，考虑到将来回帖不便，这里再补充一点：

1）帖子开头提到“两种原创”云云，我作这种划分的目的，是为了避免误导大家，让大家不要把第二种意义上的原创帖子视为已经公认的成熟理论。

2）有多种含义上的“对偶”。我当年试图研究时空空间底流形与其上的余切空间之间的“对偶”，当然跟切空间和余切空间之间的那种“对偶”是两回事。

3）对于时间算符的研究，在开始的阶段昌海兄帮了我很大忙，帮我澄清了一些基本概念和误解，让我有了一个正确的入门；同时促使我终于把泛函分析学以致用（以前虽然学过，却跟量子力学完全是脱离的）。

林彪当年说：“毛主席说一句，抵得上你我说一万句”。这当然是故意夸大其词，为了打击彭德怀而说的政治大话。现在我想说的是：跟昌海兄的几次私下交流，抵得上我闭门造车搞几年。这个却是大实话。这有两个意思：1）昌海兄的确不是等闲之辈；2）学术交流很重要。但绝对没有你同时很容易想到的第三个意思：3）星空浩淼有点笨——谁这样想我跟谁急！

：：3）星空浩淼有点笨——谁这样想我跟谁急！
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我就是这样想的啊~哈哈

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哼!将来咱们见面罚你三杯XO先

“对酒当歌，人生几何”
千杯不拒，何况三杯