先来议论几句数学与物理的关系， 抛砖引玉吧 (大家快把玉准备好！)。 Einstein 曾经表达过这样的意思 (这些都是十好几年前看过的东西， 现在书留在了杭州老家， 只能凭记忆说了)： 数学当它不与物理实在相联系的时候， 它是严格的， 而当它与物理实在相联系的时候， 它就不再严格了。

以几何为例， 最初它来源于经验， 但经过长时间的演化， 到了 Hilbert 时代已经演化成了一个非常纯粹的形式体系。 Hilbert 有句名言， 大意是说把几何公理中的点、 线、 面换成啤酒、 酒瓶和酒杯 (或是别的三样东西， 或是不同的顺序， 记不清了) 也可以。 这就是说几何体系中的那些基本概念， 它们究竟是什么并不重要， 重要的是它们满足几何公理。 事实上那些概念本身正是用公理来定义的， 它们并不需要对应于现实或经验世界中的任何具体的东西。 也正因为如此， 对于这样的形式体系， 我们可以谈论它的自洽性、 完备性， 可以谈论体系中任何具体命题的正确性， 但对整个体系本身却不谈它的正确与错误 (如果谈的话， 正确指的往往就是自洽)。 一个数学体系是否被数学界所认可， 是否是一个数学意义上的有效体系， 关键在于其是否自洽 (原本还可以加上完备性， 但由于 Gödel 同志把水大大地搅浑了， 就先从略， 以后再论)。

物理体系则不同， 除了自洽之外， 还有一个是否正确的问题， 即是否构成对自然的一种可接受的描述的问题。 一个理论体系， 即便没有任何矛盾， 但如果它与观测不符， 就无法成为一个物理理论， 在物理中立足。 这是物理与数学的一个很大的差异。

但是在一种情况下数学也具有了是否正确的问题， 那就是当我们把数学体系中的概念与物理现实中的概念对应起来的时候。 比方说如果我们把几何中的线对应于物理上真空中的短程线 (当然也可以象 Hilbert 那样把线对应于酒瓶， 但对于普通酒瓶来说几何公理显然是不成立的)， 那 Euclid 几何立即就变成了对物理世界的一种描述， 几何也就变成了一种物理。 在荣升为物理理论的同时， 几何失去了数学意义上的真理性， 它必须接受观测的检验， 并且完全有可能被证伪 - 即 Einstein 所说的 “不再严格”。

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