本文是我在繁星客栈上与网友讨论非线性科学， 尤其是其中的那些普适常数， 在物理上是否具有基础意义的帖子。

从物理学的角度讲， 构成物理体系出发点的物理学原理及其直接对应的数学表述才是 foundamental 的， 而在此基础上可以用数学推理得到的所有东西都被认为是可以由那些物理原理所解释的， 因而不是 foundamental 的 (换句话说， 物理学上所说的解释本身就包含了数学推理)。 拿非线性理论来说， 按照这种理解， 它显然不是 foundamental 的， 因为非线性理论中的那些模型 - 比如 Lorenz 的气候模型 - 只是物理原理的粗略简化， 谈不上 foundamental， 此外的一切都只不过是那些近似方程式的数学推论， 其中没有任何东西是物理意义上 foundamental 的。

这里最容易引起迷惑的是出现在不同非线性系统中的那些具有一定普适性的东西， 比如 Feigenbaum 常数， 这东西看上去的确很 fancy， 我最初接触到的时侯也很受震动， 但这并不意味着它就应该被归为物理意义上 foundamental 的东西。 事实上， 它不仅不是物理意义上 foundamental 的东西， 甚至对于非线性科学本身来说也不是 foundamental 的， 它并不是非线性理论的基本出发点， 而只是数学推论。 数学中象这样具有普适性的东西很多， 一个比 Feigenbaum 常数重要 100 倍的常数是 e (≈2.718)， 它出现在所有正比于自身的演化现象中， 却并未有人宣称 e 代表了物理上 foundamental 的东西。

从物理学的角度讲， 非线性理论中的复杂性与普适性不仅不代表物理上 foundamental 的东西， 相反， 它表明物理上真正 foundamental 的东西 - 那些对于寻求 fancy 现象的人来说已经很 boring 的东西， 比如 QED (它也是非线性的) - 所能够解释的现象可能比原先我们以为的多得多。 许多原先以为不是物理学所能解释的东西有可能只是因为我们还没有理解现有物理体系的全部内涵， 而并非由于我们发现了或需要引进新的 foundamental 的东西。 当然， 要把这种可能变为现实 (或否定这种可能) 需要对物理理论的数学结构做更深入的研究， 其中包括对非线性理论的研究， 但这与引进新的 foundamental 的东西是不同的。

补注： 在繁星客栈上回复网友的相关帖子： (2006-01-11)

补充两点： 第一点， 并不是只有物理上 fundamental 的东西才是重要的。 细心地研究一组物理上已知的原理所蕴含的信息， 其重要性并不亚于原理本身。 虽然从 fundamental 与否的角度讲那些信息只是推论。 因此我的那段文字不是要低估非线性理论的重要性， 它与后者的 “前途不可限量” 并不是对立的。

第二点， 我那段文字讨论的只是网友提到的一些与混沌及分形有关的简单非线性模型， 那些模型及其数学推论我认为都不是 fundamental 的， 但是一些我们目前认为 fundamental 的物理理论 (比如广义相对论) 往往也是非线性的， 那些理论不在我那段文字的讨论范围之内。

至于统计性及 Maxwell 电磁理论中的场， 如我在那段文字中所说， 构成物理体系出发点的物理学原理及其直接对应的数学表述是 foundamental 的。 因此这些概念， 当它们作为物理学原理或其直接对应的数学表述出现时， 是 fundamental 的概念， 物理上什么是 fundamental 的并不是一成不变的， 不过目前非线性理论中所用的那些模型即使在未来我认为也不会成为物理上 fundamental 的东西 (once again， 这并不意味着它们不重要， 它们对于理解物理原理背后可能蕴含的种种复杂性有着至关重要的启示作用)。

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