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质量的起源 (五)
- 卢昌海 -
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十一. 手征对称性自发破缺
手征 SU(2) 是量子色动力学 Lagrangian 中的 (近似) 对称性， 却在现实世界中完全找不到对应，
这究竟是什么原因呢？ 应该说， 要猜测一下是不困难的， 因为当时物理学家们已经知道对称性可以自发破缺。
如果量子色动力学中的手征对称性是自发破缺的， 显然就会出现这种 Lagrangian 具有 (近似) 手征对称性，
现实世界却不并不买账的现象。 但是， 猜测归猜测， 要想在理论上严格论证这一点 -
哪怕只是物理学意义上的严格论证 - 却是极其困难的。
有读者可能会问： 对称性自发破缺在电弱统一理论中用得好好的，
为什么在量子色动力学中却变得 “极其困难” 了呢？
这是因为在电弱统一理论中对称性自发破缺是由人为引进的 Higgs 场产生的，
我们有一定的自由度来选择对称性破缺的方式。
但量子色动力学并不包含这种人为引进的 Higgs 场， 因此，
在量子色动力学中， 整体 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V
对称性是否自发破缺？ 如果破缺， 是否恰好是手征部分破缺， 即破缺到 SU(2)V×U(1)V？
都只能由理论本身来决定， 而不是我们可以擅自假设的， 正是这一特点使问题变得困难[注一]。
更麻烦的是， 手征对称性的破缺 (如果存在的话) 出现在量子色动力学的强相互作用区 - 即低能区。
对于理论研究来说， 这无疑是雪上加霜。
另一方面， 对称性破缺方式由理论本身所决定虽然为量子色动力学带来了一个艰深的理论问题，
同时却也是它的一个极大的理论优势。 因为电弱统一理论之所以不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答，
一个很重要的原因就是 Higgs 场以及它与费米场之间的相互作用 (Yukawa 耦合) 是人为引进的，
从而带有许多自由参数。 而量子色动力学没有那种类型的自由参数， 因此它与观测之间的对比更为严酷：
如果成功， 将是极具预言能力的成功， 因为自由参数越少， 预言能力就越强；
但如果失败， 也将是无力回天的失败， 因为自由参数越少， 回旋余地也就越小。
那么量子色动力学究竟能不能实现从 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V
到 SU(2)V×U(1)V 的对称性自发破缺呢？ 目前在理论上还是一个待解之谜。 1979 年，
't Hooft 通过对规范理论中的反常 (anomaly) 进行分析， 得到了一个结果：
即如果所考虑的整体对称性是 SU(3)V×SU(3)A×U(1)V，
那它就必须自发破缺。 可惜的是， 一来量子色动力学中的 SU(3) 对称性远比 SU(2) 对称性粗糙，
二来这一结果也无法告诉我们具体哪一部分对称性会自发破缺。 1980 年， S. Coleman 与 E. Witten
提出在某些合理的物理条件下， 当色的数目 Nc 趋于无穷时，
手征对称性必须自发破缺。 这一结果虽然抓准了手征对称性，
但可惜量子色动力学中的 Nc 不仅不是无穷， 而且还很小 (Nc=3)。
1984 年， C. Vafa 与 E. Witten 证明了未被非零夸克质量项所破缺的同位旋对称性
(请读者想一想， 在现实世界里这一对称性由什么群来表示？) 不会自发破缺。
可惜这一证明虽然表明特定的同位旋对称性不会自发破缺， 却未对手征对称性是否一定会自发破缺提供说明。
虽然上述理论研究没有一个能够证明 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V
必定会破缺到 SU(2)V×U(1)V， 但它们都与这一对称性破缺方式相容， 无疑还是大大增强了人们的信心。
在物理学上， 数学证明是一种美妙的东西， 但有时却可望不可及， 物理学家们的工作往往并不总是依赖于它。
迄今为止， 虽然尚未有人能够给出手征对称性自发破缺的数学证明， 但从这一破缺方式已经得到的大量间接证据来看，
它的证明应该只是时间问题。 物理学家们更感兴趣的是： 如果手征对称性自发破缺， 我们可以从中得到什么推论？
有关这一点， 人们做了细致的研究。 那些研究获得了极大的成功， 不仅给出了被称为手征微扰理论
(chiral perturbation theory) 的描述低能量子色动力学的有效场论，
而且得到了一系列与实验相吻合的漂亮结果。 这一切也反过来为手征对称性的自发破缺提供了进一步的间接证据。
下面我们就来看看由手征对称性自发破缺导致的推论中与质量起源问题关系最密切的部分。
十二. 赝 Goldstone 粒子的质量
在 第七节 中， 我们介绍过对称性自发破缺。
对称性自发破缺最重要的推论之一是存在无质量的标量粒子， 即 Goldstone 粒子，
它们与破缺对称性所对应的荷具有相同的宇称及内禀量子数。 对于手征对称性来说， 荷是 (QA)a，
它在时空中是赝标量， 在内禀空间中则是矢量。 因此相应的 Goldstone 粒子的宇称为负， 同位旋则为 1。
自然界满足上述特征的强子中质量最轻的是 π 介子 (π-、 π0 和 π+)。
如果手征对称性是自发破缺的， π 介子就应该是这一破缺所对应的 Goldstone 粒子[注二]。
但是， Goldstone 粒子是无质量的， π 介子却是有质量的， 这一矛盾该如何解决呢？
我们知道， 在理想的对称性自发破缺情形下， 体系的实际真空态可以是一系列简并真空态中的任何一个。
但是， 量子色动力学中的手征对称性破缺却不是理想情形， 因为量子色动力学的 Lagrangian 含有手征对称性的明显破缺项，
即夸克质量项。 由于这种明显破缺项的存在， 实际真空态的选取就不再是任意的了，
明显破缺项的存在将会对实际真空态起到一个选择作用。 这就好比一根立在桌上的筷子， 如果桌子是严格水平的，
它向任何一个方向倒下都是同等可能的， 但如果桌子是倾斜的， 它就会往倾斜度最大 (梯度最大) 的方向倒。
用数学的语言来说 (符号的含义参看 第七节)， 如果 V1(φa) (a=1, ..., N)
表示对称性的明显破缺项， 那么， 它所选出的真空态将满足
Δa(φ) (∂V1/∂φa) = 0
这一条件被称为真空取向条件 (vacuum alignment condition)。 另一方面， 明显破缺项的存在也破坏了
Goldstone 定理成立的条件， 由此导致的结果是 Goldstone 粒子有可能具有非零质量， 这样的粒子被称为赝 Goldstone 粒子
(pseudo-Goldstone particle)。 真空取向条件是确定赝 Goldstone 粒子质量的重要条件。 赝 Goldstone
粒子的出现消除了 π 介子的非零质量与 Goldstone 粒子的零质量之间的定性矛盾。 但在定量上 π 介子与赝 Goldstone
粒子的质量是否吻合呢？ 我们现在就来看一看。
对于量子色动力学中的手征对称性来说， 对称性的明显破缺项为质量项， 它可以改写成 (请读者自行验证)：
V1 = (1/2)(mu+md)ΨΨ +
(1/2)(mu-md)(uu-dd)
其中 ΨΨ = uu+dd。
这其中第一项只破坏手征对称性， 第二项则破坏同位旋对称性。 在此基础上， 考虑到不存在同位旋对称性自发破缺这一限制，
可以得到赝 Goldstone 粒子的质量为 (这一结果也可以从手征微扰理论得到)：
Mπ2 =
(1/2)(mu+md)<0|ΨΨ|0>/Fπ2
其中 Fπ 是一个量纲为能量的常数， 由
<0|Aμa(x)|πb(p)> =
ipμFπδabe-ipx
定义。 Fπ 被称为 π 衰变常数 (pion decay constant)， 可以由 π 介子的衰变来确定，
原则上也可以从理论上计算出， 其数值约为
92.4 MeV[注三]。 <0|ΨΨ|0> 是一个量纲为能量三次方的参数，
被称为手征凝聚 (chiral condensation)， 目前人们对它的计算还较粗略， 结果大致为
<0|ΨΨ|0>~(270 MeV)3nf[注四]，
其中 nf 为参与凝聚的夸克种类， 对于我们所考虑的情形 nf=2 (u 和 d 夸克)。
mu+md 通常取为 8-9 MeV。 由此可以得到 (请读者自己计算一下)：
Mπ ~ 140 MeV。 这几乎正好就是 π 介子的质量 (π± 的质量约为 140 MeV；
π0 的质量约为 135 MeV)。 当然， 上述估算是相当粗略的， 不能因为数值上的吻合而高估它的精度。
但结合了格点量子色动力学 (lattice QCD) 计算的大量更为细致的研究表明， 这种吻合并非偶然[注五]。
现在让我们再次回到主题 - 质量的起源 - 上来。 我们看到， 量子色动力学计算出了作为赝 Goldstone 粒子的 π 介子的质量。
如果我们想知道 π 介子的质量起源， 这可以算是一种回答。 可惜的是， 这种回答与我们在
第六节 中介绍的电磁自能具有相同的缺陷，
那就是它正比于在理论中无法约化的外来参数： 夸克质量。 一旦外来参数不存在， 这一回答就会失效。
因此量子色动力学对 π 介子及其它赝 Goldstone 粒子质量的计算虽然很漂亮，
但从回答本原问题的角度看却仍不足以令人满意。
十三. 一个 93 分的答案
但是， 当我们把目光转到更复杂， 同时也更具现实意义的强子 - 质子和中子 (以下合称核子) - 的质量时，
却会看到量子色动力学的确为质量起源问题提供了一个非常精彩的回答。
计算核子或其它重子的质量是一个相当困难的低能量子色动力学的问题， 通常的做法是利用巨型计算机进行格点量子色动力学计算。
但是， 由于技术上的限制， 迄今为止， 人们在这类格点量子色动力学计算中采用的 u 夸克和 d
夸克的质量都在它们实际质量的五倍以上， 由此得到的核子质量通常也要比实际值高出百分之三十以上。
另一方面， 与格点量子色动力学计算中夸克质量的 “不可承受之重” 截然相反， 在我们前面提到的手征微扰理论中，
夸克的质量却是越轻越好， 甚至最好是零。 显然， 如果我们能在这两种极端之间作某种调和，
借助手征微扰理论对格点量子色动力学的计算进行适当的外推， 就有可能得到更接近现实世界的结果。
这正是物理学家们在计算核子质量时采用的手段。
这种借助手征微扰理论对格点量子色动力学计算进行外推的方法被称为手征外推 (chiral extrapolation)。
利用手征外推得到的核子质量为：
mN = m0 - 4c1Mπ2 + O(Mπ3)
其中 m0 ≈ 880 MeV， c1 ≈ -1 GeV-1， Mπ2
是 π 介子的质量平方， 如 上节 所述， 正比于夸克质量。 若干更高阶的项也已被计算出，
这里就不细述了。 将有关数据代入这一公式， 我们可以得到 (请读者自己计算一下)：
mN≈954 MeV， 它与实际的核子质量 (质子约为
938 MeV； 中子约为 940 MeV) 相当接近。 不仅如此， 系统的计算 (包括来自部分高阶项的贡献) 还给出了许多其它重子的质量，
比如： mΣ≈1192 MeV (实验值约为 Σ+ 1189 MeV；
Σ0 1193 MeV； Σ- 1197 MeV)；
mΛ≈1113 MeV (实验值约为 1116 MeV)； mΞ≈1319 MeV
(实验值约为 Ξ0 1315 MeV； Ξ- 1321 MeV)， 都与实验有不错的吻合。
这些结果表明， 量子色动力学的确可以用来计算重子质量。
那么， 从回答本原问题的角度看， 这些计算是否令人满意呢？
从上面所引的核子质量公式中我们可以看到， 上述核子质量有一个不同于赝 Goldstone 粒子质量的至关重要的特点，
那就是它在手征极限 - 即夸克质量为零 - 时不为零， 而等于 m0≈880 MeV。 这个数值约为核子质量的
93%， 它完全由量子色动力学所描述的相互作用所确定[注六]。 这表明，
即便不引进任何外来的夸克质量， 量子色动力学仍能给出核子质量的绝大部分。
由于宇宙中可见物质的质量主要来自核子质量，
因此宇宙中可见物质质量的绝大部分都可以在不引进夸克质量的情况下， 由纯粹的量子色动力学加以说明。
从这个意义上讲， 量子色动力学为质量起源问题提供了一个独特而精彩的回答。
这一回答不象电弱统一理论那样带有比所要解释的质量参数还要多的可调参数，
因而非常符合回答本原问题的需要。
不过， 由于它只能给出核子质量的 93%， 因此我们粗略地给它打 93 分。
在标准模型的范围内， 这是迄今所知的最佳回答。
93 分虽然是一个高分， 但终究不是满分。 为了寻找更接近满分的答案， 我们不得不重新回到标准模型中不能约化的那些质量
- 包括使量子色动力学丢掉 7 分的夸克质量 - 上来。 那些质量究竟来自何方？ 究竟还能不能约化？
这些问题的答案 - 如果有的话 - 就只能到标准模型之外去寻找了。
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二零零七年一月二十五日写于纽约
http://www.changhai.org/
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