质量的起源 (四)

- 卢昌海 -

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九. 量子色动力学

与 Goldstone、 Higgs 等人在对称性自发破缺方面的研究几乎同时， 物理学家们在研究强相互作用上也取得了重大进展。 1961 年， M. Gell-Mann (1929-) 与 Y. Ne'eman (1925-2006) 彼此独立地提出了强子分类的 SU(3) 模型^[注一]。 这一模型不仅对当时已知的强子给出了很好的分类， 而且还预言了当时尚未发现的粒子， 比如 Ω^-[注二]。 但这一模型有一个显著的缺陷， 那就是 SU(3) 的基本表象 (foundamental representation) 似乎不对应于任何已知的粒子。 1964 年， Gell-Mann 与 G. Zweig (1937-) 提出了夸克 (quark) 模型， 将夸克作为 SU(3) 基本表象所对应的粒子， 强子则被视为是由夸克组成的^[注三]。 在夸克模型中， 为了给出正确的强子性质， 夸克必须具有实验上从未发现过的量子数， 比如分数电荷， 这在当时很令人感到不安。 对此， Gell-Mann 也深感困惑， 只能用 “夸克存在但不是真实的” (they exist but are not real) 这样诡异的语言来搪塞。 夸克模型的另一个麻烦， 是夸克是费米子， 而某些强子却似乎包含三个处于同一量子态的夸克， 从而违反 Pauli 不相容原理。 关于这一点， 1965 年 O. W. Greenberg、 M. Y. Han (1934- ) 和 Nambu 先后提出引进一个新的三值量子数以保证那些夸克具有不同的量子态， Nambu 甚至粗略地考虑了以这一量子数为基础构造 Yang-Mills 理论， 但这些工作未引起重视。 1972 年， Gell-Mann 等人在实验的引导下重新考虑了这一新量子数， Gell-Mann 将之称为色荷 (color)， 并将以色荷为基础的 Yang-Mills 理论称为量子色动力学 (quantum chromodynamics)。 由于色荷是一个三值量子数， 因此量子色动力学的规范群被选为 SU(3)。

在量子色动力学的发展过程中， 二十世纪六十年代末的一系列电子-核子深度非弹性散射实验起了很大的作用。 这些实验不仅证实了核子内部存在点状结构， 而且还显示出这些点状结构之间的相互作用在高能 - 即短距离 - 下会变弱。 这些点状结构被 R. Feynman (1918-1988) 称为 “部分子” (parton)， 它们中的一部分后来被证实就是夸克 (另一部分是后面会提到的胶子)。 而部分子之间的相互作用在高能下变弱的行为被称为渐近自由 (asymptotic freedom)， 它为实验上从未观测到孤立夸克这一事实提供了一种很好的说明： 那就是当夸克彼此远离时， 它们之间的相互作用会越来越强， 最终从真空中产生出足以中和它们所带色荷的粒子。 我们在实验上能够分离出的任何粒子 - 比如强子 - 都只能是这种色荷中和后的产物， 而不可能是孤立的夸克^[注四]。 由于这一原因， 渐近自由很快被视为描述夸克相互作用的理论必须具备的重要性质。

1973 年， D. Politzer (1949-)、 F. Wilczek (1951-) 及 D. Gross (1941-) 等人发现 Yang-Mills 理论具有渐近自由性质^[注五]。 在当时已知的所有四维可重整场论中， Yang-Mills 理论是唯一具备这一性质的理论， 这对 Gell-Mann 等人提出的量子色动力学是一个很强的支持。 那时侯， 人们对 Yang-Mills 理论本身的研究也已取得了系统性的进展： 1967 年， L. D. Faddeev (1934-) 和 V. N. Popov 完成了 Yang-Mills 理论的量子化； 1971 年， G. 't Hooft (1946-) 证明了 Yang-Mills 理论的可重整性。 在这一系列工作的基础上， 量子色动力学成为了标准模型中描述强相互作用的基本理论。 这一理论中对应于 SU(3) 生成元的八个载力子被称为胶子 (gluon)， 它们都是无质量的。

看到这里， 有读者可能会问： 我们是不是离题了？ 量子色动力学中总共只有两类粒子： 胶子与夸克。 其中胶子是无质量的， 而夸克虽然有质量， 但其质量 - 与标准模型中其它费米子的质量一样 - 是由电弱统一理论中的规范对称性自发破缺产生的， 与量子色动力学无关， 并且 - 如我们在 上一节 中所说 - 在标准模型之内是不可约化的。 既然如此， 量子色动力学与质量起源这一主题又能有什么关系呢？ 应该说， 这是一个很合理的疑问。 但量子色动力学的奇妙之处就在于， 它形式上异常简洁 - 一个简简单单的规范群， 一个平平常常的耦合常数， 差不多就是其全部的家当 - 但内涵却惊人地丰富。 它宛如一坛绝世的佳酿， 越品就越是回味无穷。 在谈论质量起源问题的时侯， 人们往往把注意力放在 Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论上， 因为 Higgs 机制在登场伊始就打出了质量产生机制的响亮广告。 但事实上我们将会看到， 看似与质量起源问题无关的量子色动力学对这一问题有着非常独特而精彩的回答， 从某种意义上讲， 这一回答才是标准模型范围内的最佳回答。

我们先来看看量子色动力学的 Lagrangian：

L = -(1/2)Tr(G^μνG_μν) + Σq(iγ^μD_μ - m_q)q

其中 q 为夸克场； G_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ - ig[A_μ, A_ν] 为规范场强； D_μ = ∂_μ - igA_μ 为协变导数； A_μ 为规范势； m_q 为夸克 q 的质量； g 为耦合常数； 式中的求和遍及所有的夸克种类。 自然界已知的夸克种类 - 也称为 “味” (flavor) - 共有六种。 其中 u、 d、 s 被称为轻夸克， 质量分别约为 1.5~3.0 MeV、 3~7 MeV 及 95 MeV； c、 b、 t 被称为重夸克， 质量分别约为 1.25 GeV、 4.2 GeV 及 174 GeV。 这其中轻夸克的质量是在 2 GeV 的能标上定义的， 重夸克的质量则是在其自身质量标度上定义的^[注六]。 这些质量参数本身在标准模型范围内是不能约化的， 但由这些夸克所组成的强子的性质， 在很大程度上可以由量子色动力学来描述， 这其中就包括强子的质量。 在接下来的几节中， 我们就来看一下量子色动力学对强子质量的描述， 以及这种描述在何种意义上可以被视为是对质量起源问题的回答。

十. 同位旋与手征对称性

我们知道， 可见物质的质量主要来自于质子和中子， 其中质子由两个 u 夸克及一个 d 夸克组成， 而中子由一个 u 夸克及两个 d 夸克组成。 在下面的叙述中， 我们将只考虑这两种夸克。 由于这两种夸克的质量远小于任何强子的质量， 作为近似， 我们先忽略它们的质量。 这时的量子色动力学 Lagrangian 为：

L = -(1/2)Tr(G^μνG_μν) + iuγ^μD_μu + idγ^μD_μd

显然 (请读者自行验证)， 这一 Lagrangian 在以下两个整体 SU(2) 变换：

ψ → exp(-it^aθ^a)ψ;    ψ → exp(-iγ⁵t^aθ^a)ψ

下是不变的 - 其中 ψ=(u, d)^T， t^a 是 SU(2) 的生成元 (即 Pauli 矩阵的 1/2)。 这两个存在于 u 和 d 夸克间的对称性分别被称为同位旋对称性与手征对称性， 记为 SU(2)_V 与 SU(2)_A。 这其中同位旋对称性 SU(2)_V 只要夸克质量彼此相等 (不一定要为零) 就存在， 而手征对称性 SU(2)_A 只有在夸克质量全都为零时才具有 (这一情形因此而被称为手征极限)。 这一点与我们在 第六节 中提到的无质量量子电动力学的手征对称性类似。 除此之外， 这一 Lagrangian 还存在一个显而易见的整体 U_V(1) 对称性， 它对应于重子数守恒， 与夸克是否有质量， 以及质量是否彼此相等都无关。 综合起来， 上述 Lagrangian 具有整体 SU(2)_V×SU(2)_A×U(1)_V 对称性^[注七]。 在这些对称性中， 同位旋对称性 SU(2)_V 与手征对称性 SU(2)_A 所对应的守恒流分别为：

V^μa = ψγ^μt^aψ;    A^μa = ψγ^μγ⁵t^aψ

显然， 在宇称变换下， V^μa 是矢量， A^μa 则是轴矢量 (axial vector)。 他们对应的荷 (Q_V)^a=∫V^0ad³x 与 (Q_A)^a=∫A^0ad³x 分别为标量及赝标量^[注八]。

如果同位旋与手征对称性都是严格的对称性， 那么 (Q_V)^a 将生成强子谱中自二十世纪六十年代起逐步引导人们发现量子色动力学的同位旋对称性； 而 (Q_A)^a 则将生成所谓的手征对称性， 它要求每一个强子都伴随有自旋、 重子数及质量与之相同， 而宇称却相反的粒子。 这样的对称性在强子谱中从未被发现过。

对此， 最容易想到的解释是： 由于 u 和 d 夸克实际上并不是无质量的， 因此手征对称性本就不可能严格成立。 事实上， 不仅手征对称性不可能严格成立， 由于 u 夸克和 d 夸克的质量彼此不同， 连同位旋对称性也不可能严格成立。 但是， 考虑到 u 夸克和 d 夸克的质量相对于强子质量是如此之小， 相应的对称性在强子谱中似乎起码应该近似地存在。 对于同位旋对称性来说， 情况的确如此 (否则就不会有早年那些强子分类模型了)^[注九]。 但手征对称性却哪怕在近似意义上也根本不存在。 举个例子来说， 手征对称性要求介子三重态 ρ(770) 与 a₁(1260) 互为对称伙伴 (请读者自行查验这两组介子的量子数)， 但实际上这两者的质量分别为 775 MeV 和 1230 MeV^[注十]， 相差悬殊 (作为对比， 同位旋伙伴的质量差通常都在几个 MeV 以下)， 连近似的对称性也不存在。

初看起来， 事情似乎出了麻烦， 但物理学家们却从这一麻烦中找到了一条探究低能量子色动力学的捷径。 正所谓 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”。

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注释

1. Gell-Mann 将这一模型称为八正道 (eightfold way)， 这一名称取意于佛教术语， 它所代表的是 SU(3) 分类模型中的八维表象。
2. Ω^- 于 1964 年被发现， 它不仅量子数与理论预言完全一致， 质量也非常接近理论的预期。
3. 当时 Gell-Mann 是加州理工大学 (California Institute of Technology) 的教授， Zweig 则是该校的研究生， 他们虽在同一学校， 但提出夸克模型是彼此独立的。 夸克这一名称是 Gell-Mann 所取， 来自于爱尔兰作家 J. Joyce 的一部晦涩的小说《Finnegans Wake》； Zweig 提议的名字也很幽默， 是 "Aces" - 即扑克牌中的 “爱斯”。 对 Zweig 来说， 十分苦涩的经历是： 同样标新立异的理论， Gell-Mann 的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心 (CERN) 的新杂志《Physics Letters》上， 而人微言轻的 Zweig 投向同一杂志的文章却未能发表。 Zweig 后来转行离开了物理。
4. 这一点也适用于胶子或任何不处于色单态的粒子组合。 不过要注意的是， 它的严格数学证明是极其困难的。 事实上， 它是美国克莱数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 悬赏百万美元征解的七大数学难题之一的 “Yang-Mills 与质量隙” (Yang-Mills and Mass Gap) 问题的一部分。 不过许多物理学家对从数学上严格证明这一点并无太大兴趣， S. Weinberg 曾经表示： “这一点肯定是正确的， 因此我和其他一些人一样很乐意把证明留给数学家去做” [参阅本人译作 标准模型简史 (下)]。
5. Politzer 等人因此而获得了 2004 年的 Nobel 物理学奖。 比他们稍早， G. 't Hooft (1946-) 也有过同样的发现， 可惜没有发表 [参阅本人译作 规范理论的重整化 (下)]。
6. 补充说明两点： 1. 定义夸克质量所用的重整化方案 (renormalization scheme) 是 MS。 2. 夸克的 “轻” 和 “重” 是相对于量子色动力学中的特征能标 Λ_QCD (约为 200-300 MeV) 来区分的。
7. 有读者可能会问： 既然有 U(1)_V， 是不是也有 U(1)_A？ 在经典层次上答案是肯定的， 但是在量子世界里， U(1)_A 会被反常 (anomaly) 所破坏。
8. 感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质 P: ψ(t, x) → γ⁰ψ(t, -x) 自行证明 V^μa 与 A^μa 的变换性质 P: V^μa(t, x) → V_μ^a(t, -x) 与 P: A^μa(t, x) → -A_μ^a(t, -x)。 另外要注意的是， 这里所说的矢量、 轴矢量、 标量、 赝标量都是依据时空变换性质区分的， 与那些量在 SU(2) 内禀空间内的变换性质无关。
9. 由于 s 夸克也是轻夸克， 因此我们的讨论可以扩展至包括 s 夸克， 这是强子分类中存在 SU(3) 近似对称性的原因 [请注意这个 SU(3) 是 “味” 对称性而不是 “色” 对称性]。 不过由于 s 夸克的质量较大， SU(3) 对称性的近似程度远不如 SU(2) 对称性来得高。
10. 在强子的命名中， 有些带有质量参数， ρ(770) 与 a₁(1260) 就是两个例子。 细心的读者可能要问： 既然如此， 这两个介子的质量怎么会是 775 MeV 和 1230 MeV， 而非 770 MeV 和 1260 MeV 呢？ 我把这个问题留给读者自己去思考。

二零零六年十二月三十日写于纽约
http://www.changhai.org/

相关链接

• 规范理论的重整化 (上)
• 规范理论的重整化 (下)
• 标准模型简史 (上)
• 标准模型简史 (下)