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时空的乐章——引力波百年漫谈 (十四)

- 卢昌海 -

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十七. 致密双星的 “死亡序曲”

回答完了前两个问题, 知道了最有可能被 LIGO 探测到的引力波源是致密双星合并, 并且估算出了那样的源大约每隔多久可以产生一次能被 LIGO 探测到的信号, 现在让我们来谈谈第三个问题, 即那样的信号具体会是什么样子的?

这个问题是伴随着第一个问题的答案而产生的——因为信号与波源有关, 只有知道了引力波源的类型, 才谈得到信号具体会是什么样子的; 同时, 它也是伴随着 LIGO 的探测精度而产生的——在昔日以 “韦伯棒” 为核心的年代里, 人们关心的只是信号的有无, 而并不在意它的具体形式, 因为 “韦伯棒” 远远达不到关心后者所需的精度 (“韦伯棒” 留给人们的重大教训则是: 只关心信号的有无是很容易误入歧途的——因为离开了具体形式的约束, 噪音混充成信号的概率会大大增加)。

能够对信号的具体形式进行检验, 是 LIGO 相对于 “韦伯棒” 的一个有着本质意义的优越之处, 是 LIGO 可信度的根基之一。 同时, 它也赋予了 LIGO 对广义相对论作出新的定量检验的能力, 因为在 LIGO 探测到引力波之前, 物理学家们就依据广义相对论对信号的具体形式作出了预言, LIGO 对引力波的探测, 则缔造了广义相对论的又一个预言得到定量验证的精彩范例。

在接下来的几节中, 我们将对广义相对论的预言作一个简略介绍, 其中本节针对致密双星合并过程的初期——姑称为 “死亡序曲”; 后两节则针对致密双星合并过程的末期——姑称为 “死亡终曲”。

致密双星合并过程的初期, 粗略地讲, 是指双星间距较大 (比如远大于双星本身的线度), 各种复杂效应——其中包括三类致密双星的细致区别——可以忽略的阶段。 具体地讲, 则是指 第五节 中的四极辐射近似和 第十五节 中有关引力波主频率的诸公式基本适用的阶段。 这个阶段也称为致密双星的 “旋进” (inspiral) 阶段 (旋进的原因完全在于辐射引力波, 在牛顿引力理论中, 致密双星是可以 “天长地久” 的)。 而所谓信号的具体形式, 指的是引力波造成的度规扰动或探测臂长度变化作为时间的函数的具体形式, 也称为引力波的波形 (waveform)[注一]

现在我们就来估算一下致密双星合并过程初期的引力波波形。

估算的步骤是这样的: 首先, 由 第五节 的 (5.2) 式或 第八节 的 (8.1) 式可知, 引力波造成的度规扰动或探测臂长度的相对变化 h 正比于引力波源的四极矩对时间的二阶导数; 其次, 利用 第六节第八节 介绍过估算方法, 可将引力波源的四极矩近似为 MR2 (其中 M 是体系的总质量, R 为线度)。 其三, 在同等近似下, 对轨道绕转频率为 f 的致密双星来说, 四极矩对时间的二阶导数可以近似为 MR2f2; 其四, 考虑到轨道绕转频率与引力波的主频率与之间——如 第十五节 的 (15.1) 式所示——只差一个对估算来说并不重要的常系数 2, 可将 f 直接诠释为更具观测意义的引力波主频率; 最后, 利用开普勒第三定律, 可将不具有直接观测意义的 R 替换成 f—2/3

将上述步骤代入 (5.2) 式或 (8.1) 式, 可得:

h ∼ f2/3

(17.1)

这里我们略去了所有常数因子, 以及引力波主频率以外的物理量 (比如质量、 致密双星与我们的距离等), 因为那些因子不随时间改变, 从而对我们关心的引力波波形只有标度意义上的影响。

另一方面, 第十五节 的 (15.6) 式给出了引力波主频率由 f1 演变到 f2 所需的时间 τ 与 f1、 f2 之间的关系。 对我们所考虑的合并过程的初期来说, 可将 f1 选为我们感兴趣的引力波主频率 f, 将 f2 选为合并过程接近终了时的某个主频率。 在这样的选择下, 显然有 f1 ≪ f2, f2—8/3 相对于 f1—8/3 可以忽略, 而 τ 则基本上等于引力波主频率为 f 的时刻与合并过程终了时刻之间的间隔 t, 由此可将 (15.6) 式改写为:

t ∼ f—8/3

(17.2)

将 (17.2) 式代入 (17.1) 式便可得到

h ∼ t—1/4

(17.3)

(17.3) 式是便是致密双星合并过程初期的引力波波形。

由 (17.3) 式可以看到, 致密双星合并过程初期的引力波振幅会逐渐增大, 离合并时刻越近, 振幅就越大, 这是完全合理并且符合直觉的。 但这一合理性不能过度外推, 尤其是不能外推至过分接近合并时刻 t=0, 因为 (17.3) 式给出的引力波振幅在接近 t=0 时会趋于无穷, 这是针对致密双星合并过程初期的 (17.3) 式失效的鲜明征兆。

当然, t=0 乃是 “死亡终曲” 的地盘, 本就不该由 (17.3) 式来描述。 不过, 即便在 “死亡序曲” 的地盘内, (17.3) 式也有可以改进的地方。

细心的读者也许注意到了, (17.3) 式的推导过程以及其所依赖的诸多前文结果中, 包含了诸如开普勒第三定律那样本质上属于牛顿引力理论的结果, 这作为低阶近似是无可厚非的, 却也提示了一个显而易见的改进途径, 那就是将这些 “低阶” 近似提升为 “高阶”——即所谓的广义相对论后牛顿近似。 这种显而易见的改进当然不是 “免费午餐”, 它会导致急剧增加的复杂性。

不过这吓不倒物理学家。 自 1993 年开始, 物理学家们开始在后牛顿近似下计算致密双星合并过程初期的引力波波形。 2001 年, 理论物理学家达穆尔 (Thibault Damour)、 天体物理学家塞斯亚普拉卡什 (B. S. Sathyaprakash) 等人将后牛顿近似推进到了 3.5 阶[注二], 并得到:

h ∼ (2νM/r) A2

(17.4)

其中 M 是致密双星的总质量 (即 M = m1 + m2), r 是致密双星与我们的距离, ν 是所谓 “对称质量比” (symmetric mass ratio), 定义为 ν = m1m2 / M2。 (17.4) 式的表观简单性背后的巨大复杂性体现在 A2 中, 它的解析表达式为:

(17.5)

其中 τ = (νt/5M)—1/8, γ 是欧拉常数 (γ = 0.5772156649...)。

上面这个表达式算得上是本系列中最复杂的表达式, 给出这个表达式的目的不是要吓唬读者, 而是为了秀一下——或者说赞一下——达穆尔、 塞斯亚普拉卡什等人的努力。 除此之外, 上述表达式还有一个小小的作用, 那就是可以帮我们补上推导 (17.3) 式时略去的某些因子。 为了证实这一点, 我们取 (17.5) 式的第一项, 即 τ2/4, 代入 (17.4) 式。 经过不太复杂的变量代换, 可以得到与 (17.3) 式相一致的结果, 而且包含了推导 (17.3) 式时被略去的质量、 致密双星与我们的距离等物理量, 具体形式为:

h ∼ (𝔐5/4/r) t—1/4

(17.6)

这其中 𝔐 是由 第十五节 的 (15.2) 式给出的 “啁啾质量”[注三]

当然, (17.6) 式乃至更精确的 (17.4)、 (17.5) 两式依然有省略之处, 这些省略之处在前面各节中其实已介绍过, 这里权且重复一下: 首先是光速 c 和万有引力常数 G 都取为了 1, 其次是数量级为 1 的常系数被略去了, 再者是左侧的 h 作为度规扰动 hij 的代表, 略去了诸如致密双星轨道平面与引力波传播方向之间的角度、 引力波的偏振方向之类的细节。 除这些针对常数及物理量的省略外, (17.4)、 (17.5)、 (17.6) 诸式作为描述引力波振幅 h 的公式, 还省略了引力波相位的周期性变化。 如果将引力波相位的周期性变化也包括在内, 引力波造成的度规扰动或探测臂长度的相对变化实际上是以 h 为振幅的震荡, 且震荡的频率 (即引力波的频率) 会随致密双星的 “旋进” 而加快。 这种频率的改变在 3.5 阶的后牛顿近似下具有与 (17.5) 式相似的复杂性, 这里就不列出了, 但由此得到的引力波波形大致如下图所示:

致密双星合并过程初期的引力波波形

致密双星合并过程初期的引力波波形

图中纵轴为 h, 横轴为 t。 需要注意的是, 横轴从左往右表示离合并时刻越来越近, 从而 t 是减小的。

从上图中可以很直观地看到前文提到的致密双星合并过程初期引力波波形的两个主要特征, 即引力波的振幅逐渐增大 (体现在单个波形的高度逐渐增大), 以及引力波的频率逐渐加快 (体现在单个波形的宽度逐渐减小)。

以上就是对致密双星的 “死亡序曲” 阶段广义相对论预言的简略介绍。 关于这一阶段, 还有一个特点值得一提, 那就是: 只要这一阶段足够漫长 (这对一般天文体系来说是没有问题的, 比如泰勒-赫尔斯双星的这一阶段哪怕从目前算起也还将持续 3 亿年左右的时间), 致密双星的轨道就会在这一阶段因辐射引力波而逐渐变为接近圆轨道[注四]。 由于圆轨道比椭圆轨道容易处理, 因而这一特点在无形中为后续阶段的计算提供了便利。

由后牛顿近似给出的 (17.4)、 (17.5) 两式与最低阶近似下的 (17.3) 式或 (17.6) 式相比, 适用范围——或者说精度——有了显著提升, 但依然只能描述致密双星合并过程的初期——即 “死亡序曲” 阶段, 而无法涵盖合并过程的终了——即 “死亡终曲” 阶段。 在合并过程接近终了时, 致密双星作为双星系统已处于 “濒死” 状态, 彼此的间距可以很接近有关星体的黑洞视界半径, 运动速度则可以很接近光速, 后牛顿近似在这种情形下将会失效[注五]

那么, 在这种情形下还有什么手段可用呢? 托计算机技术快速发展之福, 可以用所谓的 “数值相对论” (Numerical Relativity) 手段, 这我们将在下节中加以介绍。

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注释

  1. 引力波的波形严格讲乃是引力波自身的特性, 因而指的是度规扰动的形式。 但由于度规扰动跟探测臂长度变化那样的衍生效应成比例, 故只需用适当的标度, 便可描述后者, 或与后者相互比对。
  2. 在致密双星合并过程的研究中, 后牛顿近似的阶数是以 v2/c2 (v 为致密双星的典型运动速度) 的幂次来标识的, 3.5 阶对应于 v2/c2 的 3.5 次幂, 也即 v7/c7
  3. 有必要提醒读者的是, 通过 (17.4) 式和 (17.5) 式得到 (17.6) 乃是对前文推导 (17.3) 式的太过偷懒的补偿, (17.6) 式其实是完全用不着那么迂回的推导的——起码与 r 的关系是可以很容易地在推导 (17.3) 式时直接给出的, 且所需信息完全包含在了前面章节中, 感兴趣的读者不妨试试。
  4. 双星质量相差悬殊的情形有所例外, 那样的致密双星在接近合并时依然可以有较大的轨道偏心率。
  5. 当然, “间距可以很接近有关星体的黑洞视界半径” 和 “运动速度……很接近光速” 只针对带有黑洞的致密双星, 对于中子星双星并不成立。 不过中子星双星另有物态方面的独特复杂性, 在合并过程接近终了时, 同样会使后牛顿近似失效。

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