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虫洞物理学简介 (二)

- 卢昌海 -

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三. 球对称可穿越虫洞

可穿越虫洞与 Wheeler 提出的概念层面上的虫洞的差别就在于 “可穿越” 三个字。 究竟什么样的虫洞是可穿越的呢? 这是 Thorne 和 Morris 首先要确定的。 我们在 上节 中介绍通过黑洞进行星际旅行的设想时曾经表示, 该设想遭遇失败的地方, 恰恰孕育着虫洞物理学崛起的关键。 现在就让我们来盘点一下通过黑洞进行星际旅行的失败之处。

通过黑洞进行星际旅行的最核心的失败之处显然就在于存在视界, 它所导致的困难是多重的: 比如它的 “只进不出” 要靠白洞那样的离奇概念来 “解套”; 比如落入或离开它的过程在外部观测者看来要花费无穷长的时间; 比如它有可能是致命的无限蓝移面。 因此, 可穿越虫洞所需满足的首要条件就是不存在视界。

通过黑洞进行星际旅行的另一个失败之处是引力场的不均匀性造成的潮汐力, 虽然如我们在 上节[注三] 中所说, 这个失败之处并没有通常渲染的那样严峻, 但它无疑是可穿越虫洞必须 “引以为戒” 的。 因此, 可穿越虫洞所需满足的另一个条件是穿越过程中遇到的潮汐力是人体能够承受的。 考虑到潮汐力未必是穿越过程中有可能遇到的唯一应力, 更普遍的条件可以表述为穿越过程中遇到的应力是人体能够承受的。

这两条就是从通过黑洞进行星际旅行的失败中得到的 “经验教训”。 除此之外, 可穿越虫洞还必须满足一些一般性的理论条件: 首先是它必须满足广义相对论场方程; 其次是它的物质分布必须是物理上可以实现的——这包括物质的能量动量张量是物理上存在的, 以及物质的数量是可观测宇宙可以提供的; 最后则是它必须能在微扰下保持稳定——因为否则的话, 星际飞船通过时带来的干扰就有可能破坏可穿越虫洞。

这些就是 Thorne 和 Morris 归纳出的可穿越虫洞所需满足的条件。 不过这些条件都很一般, 为了便于具体计算, 他们还引进了一些简化条件: 首先是假设了可穿越虫洞的度规是静态球对称的。 这当然不是必需的, 但在广义相对论研究中乃是首选的简化条件, 比如广义相对论的第一个严格解——Schwarzschild 解——就是在这一简化条件下得到的, 从它入手进行可穿越虫洞研究也是顺理成章的。 而且从物理上讲, 虫洞如果是一种大尺度物质结构, 它的天然形态也确实有可能像其它大型天体一样是接近静态球对称的。 其次是假设了可穿越虫洞的所谓 “喉咙” (throat)——即径向坐标值的最小处——是唯一的, 或者换句话说, 径向坐标 r 作为径向本征距离 s=∫ds 的函数有唯一的最小值 r0。 这当然也不是必需的, 因为虫洞的 “喉咙” 完全可以是更复杂的。 不过如我们将会看到的, “喉咙” 是虫洞性质最独特的地方, 因此对它的简化是很有帮助的。 最后则是假设了可穿越虫洞的出入口分别连接渐近平直时空。 这同样也不是必需的, 因为在非渐近平直时空中也可以有虫洞。 但正如在非渐近平直时空中可以存在黑洞那样的东西, 物理学家们研究黑洞时仍普遍假设时空是渐近平直的, 虫洞研究也是如此。 这一简化条件还可以这样来理解: 那就是虫洞本身的结构与时空的大尺度结构并无密切关系, 因此不妨对后者采用最便利的假设[注一]

为清楚起见, 我们把上面提到的可穿越虫洞所需满足的所有条件罗列在一起[注二]

  1. [“经验教训”] 不存在视界。
  2. [“经验教训”] 穿越过程中遇到的应力是人体能够承受的。
  3. [一般条件] 满足广义相对论场方程。
  4. [一般条件] 物质的能量动量张量是物理上存在的。
  5. [一般条件] 物质的数量是可观测宇宙可以提供的。
  6. [一般条件] 在微扰下保持稳定。
  7. [简化条件] 度规是静态球对称的。
  8. [简化条件] “喉咙” 是唯一的。
  9. [简化条件] 出入口分别连接渐近平直时空。

条件列出了, 接下来就是寻找满足条件的具体虫洞解了。 由于下面讨论的全都是可穿越虫洞, 为行文简洁起见, 有时将会略去 “可穿越” 这一限定词。 在广义相对论中, 寻找具体解的传统做法是首先给定物质分布 (即物质能量动量张量的分布), 然后求解广义相对论场方程以得到时空结构。 这一做法体现的是物质为因、 几何为果的物理思想, 或者用 Wheeler 的话说: “物质告诉时空如何弯曲, 时空告诉物质如何运动”。 不过对于虫洞来说, 这种做法很不方便, 因为虫洞的物质分布在 Thorne 和 Morris 的研究之前乃是无人知晓的东西, 倒是它的时空结构早在 Wheeler 的概念性研究中就已经有了直观图示。 因此, Thorne 和 Morris 采用了一个聪明的思路, 那就是将传统做法逆转, 即从时空结构入手, 然后用广义相对论场方程计算出物质分布。 这种逆转在数学上是完全等价的 (颠过来倒过去都是广义相对论场方程), 在物理上却有着微妙的差别, 那就是传统做法由于首先给定了物质分布, 因此可以直接保证物质分布是物理上可以实现的 (即满足条件 4 和 5), 而逆转的做法却无法直接保证这一点。 这一微妙差别导致的后果我们很快就会看到。

由于虫洞的出入口分别连接渐近平直时空 (条件 9), 这启示我们引进两个坐标域 (coordinate patch), 分别描述出口和入口附近的时空, 两者在 “喉咙” 处相互衔接。 而度规因为是静态球对称的 (条件 7), 其一般形式是众所周知的, 包含两个任意函数, 且两者都只是径向坐标 r 的函数。 由于广义协变性, 度规形式的选择有很大的自由度。 对于我们来说, 比较方便的做法是将之表述成与 Schwarzschild 度规有一定类似性的形式:

ds2 = e±(r)dt2 — [1 — b±(r)/r]—1dr2 — r22

(5.3.1)

其中 φ± 和 b± 的下标 ± 分别表示两个坐标域, 坐标 r 的取值范围是 [r0, ∞), r0 是 “喉咙” 所对应的径向坐标值。 由于广义相对论场方程 (条件 3) 是二阶微分方程, 因此我们要求 φ±(r) 和 b±(r) 起码是二次可微的。 我们并且还要求 φ±(r) 处处有限, 这是不存在视界 (条件 1) 的体现, 因为它保证了 e±(r) 不会像 Schwarzschild 度规那样在某些地方 (即视界上) 为零。

除上述一般限定外, 这一度规在 r=r0 和 r→∞ 需要满足一些边界条件。 对于 r→∞, 由于出入口连接渐近平直时空 (条件 9), 因此 φ+(∞) 和 φ(∞) 均为 (有限) 常数。 在一般情况下, 这两个常数可以是不相等的 (请读者想一想, 这两个常数不相等的物理意义是什么?)。 同样的, b+(∞) 和 b(∞) 也均为 (有限) 常数。 与 Schwarzschild 度规相对比不难看出, b+(∞) 和 b(∞) 分别对应于在出入口所连接的渐近平直时空中测得的出入口——也称为 “嘴巴” (mouth)——的质量 (确切地说是质量的两倍)。 一般来说, 这两个常数也可以是不相等的, 即虫洞的两个 “嘴巴” 的质量可以是不相等的[注三]

对于 r=r0 (即 “喉咙” 处), 由于两个坐标域在此衔接, 且 φ±(r) 和 b±(r) 起码是二次可微的。 因此 φ+(r0) = φ(r0), φ'+(r0) = φ'(r0), b+(r0) = b(r0), b'+(r0) = b'(r0)。 不仅如此, r=r0 作为虫洞的 “喉咙”, 是径向坐标取值最小的地方, 因此此处沿径向的 dr/ds = [1—b±(r)/r]1/2 = 0, 而 d2r/ds2 = [b±(r)/r—b'±(r)]/(2r) ≥ 0。 这表明 (请读者自行证明):

b+(r0) = b(r0) = r0
b'+(r0) = b'(r0) ≤ 1

(5.3.2)

由于 “喉咙” 是唯一的 (条件 8), 因此在偏离但靠近 “喉咙” 的一个开区间 (r0, r0 + Δ) 内, dr/ds > 0, d2r/ds2 > 0, 或者等价地 (也请读者自行证明):

b±(r) < r
b'±(r) < b±(r)/r

(5.3.3)

以上就是球对称可穿越虫洞的时空结构所需满足的一般条件。 另一方面, 度规的静态球对称 (条件 7) 也给物质能量动量张量的形式施加了一定的限制, 使它在 t, r 及两个横向座标组成的正交标架场中具有 Tab = diag(ρ, τ, p, p) 的正则形式 (请读者想一想, 球对称体现在哪里?), 其中 ρ 是能量密度, τ 是径向张力, p 是横向压强, 它们都只是径向坐标 r 的函数。 这是球对称可穿越虫洞的物质分布所需满足的一般条件。

下一步要做的就是所谓的 “用广义相对论场方程计算出物质分布”, 由于我们已将物质分布归结为 ρ, τ, p 这三个函数, 因此这一步实质上就是用前面引进的球对称度规计算出相应的 Einstein 张量, 将之——依据广义相对论场方程 (条件 3)——与 8πTab 等同起来, 从而得到描述时空结构的函数 φ, b 与描述物质分布的函数 ρ, τ, p 之间的关系 (这里我们丢弃了 φ± 和 b± 中表示坐标域的下标 ±, 因为接下来的计算与坐标域无关)。 这一计算是直接了当的, 因为静态球对称度规的 Einstein 张量的计算是广义相对论中的标准内容 (当然, 具体计算与所选择的度规形式有关), 结果也并不复杂 (感兴趣的读者可以自己推算一下):

8πρ = b'/r2
8πτ = 2(r—b)φ'/r2 — b/r3

(5.3.4)

其中比这两个方程更复杂的关于 p 的方程因后面不会用到而省略了。

由这两个方程可以得到两个重要结果。 一个是在 “喉咙” 处, 由上述第二个方程可知:

τ(r0) = —1/8πr02

(5.3.5)

这个结果对于探讨虫洞是否真的 “可穿越” 有着重要影响, 我们将在 后文 中进一步讨论。 另一个是将这两个方程相加:

8π(ρ + τ) = b'/r2 + 2(r—b)φ'/r2 — b/r3 = —(e/r)[e—2φ(1—b/r)]'

(5.3.6)

由此不难看出在 “喉咙” 处 (请读者自行证明):

ρ(r0) + τ(r0) = [b'(r0) — b(r0)/r0]/8πr02 ≤ 0

(5.3.7)

将这一结果与 能量条件简介第二节 所介绍的能量条件相比较, 可以看到零能量条件已是岌岌可危了——若不是 “≤” 中还包含有 “=” 的话, 就已经被破坏了。 但这个 “=” 管得了 “喉咙” 却管不了周围, 因为 5.3.6 式中的 e—2φ(1—b/r) 在 “喉咙” 处为零[注四], 在偏离但靠近 “喉咙” 的一个开区间 (r0, r0 + Δ) 内却大于零 (参阅 5.3.3 式), 因此在偏离但靠近 “喉咙” 的一个开区间 (r0, r0 + δ) 内, [e—2φ(1—b/r)]' > 0, 从而:

ρ(r) + τ(r) < 0

(5.3.8)

这表明在球对称可穿越虫洞的 “喉咙” 附近零能量条件会遭到破坏。 由于零能量条件比弱能量条件、 强能量条件、 主能量条件都弱, 因此它的破坏意味着在球对称可穿越虫洞的 “喉咙” 附近弱能量条件、 强能量条件和主能量条件都会遭到破坏。 这是 Thorne 和 Morris 所得到的最重要的结果之一, 也是我们在 第一节 中提到的 Thorne 在参加完毕业典礼返家途中得到的 “喜忧参半的初步结果” 中 “忧” 的部分。

我们前面提到过, Thorne 和 Morris 在寻找虫洞解的过程中对传统做法的逆转从数学上讲是等价的, 在物理上却有着微妙差别, 现在我们看到的正是这一微妙差别导致的后果。 不过, 这一后果虽有可 “忧” 之处, 却也恰恰是 Thorne 和 Morris 逆转传统做法的价值所在, 因为否则的话——即首先给定物质分布的话, 是很难想到要引入违反能量条件的物质分布的, 从而也就得不到球对称可穿越虫洞解了。 至于违反能量条件是否意味着物质分布不再是物理上可以实现的 (即违反条件 4 和 5), 我们在 后文 中将会进一步讨论。

关于上面这个结果, 还有一个有趣的尾声可以提一下。 Thorne 和 Morris 的论文提交后不久, Thorne 以前的学生、 当时在美国宾夕法尼亚州立大学 (Pennsylvania State University) 物理系任教的 Don Page 给 Morris 写了一封信, 提到 Thorne 和 Morris 的上述结果可以很容易地从 Hawking 和 George Ellis 的名著《时空的大尺度结构》(The Large Scale Structure of Space-Time) 的某些结果中推得。 Thorne 和 Hawking 是老朋友兼 “赌友” (我们在 宇宙监督假设简介第一节 末尾曾经介绍过他们打过的一个赌), 彼此是很熟悉的, 但 Thorne 对 Hawking 所擅长、 并在那部名著中详加运用的所谓 “全局方法” 却并不熟悉。 昔日学生 Page——他同时也是 Hawking 的学生——的这封来信使 Thorne 既震动又惭愧, 他在 “检讨” 这件事情时 “沉痛” 地表示 “我感到多么愚蠢啊, 我从未深入学习过全局方法 (Hawking 和 Ellis 书中的课题), 现在我为此付出了代价”。

Page 提到的方法确实要比 Thorne 和 Morris 的容易许多。 当然, 这种 “容易” 是见仁见智的, 因为那是 “站在巨人的肩膀” (全局方法) 上的容易。 如果不熟悉全局方法, 那它非但不容易, 反而是相当困难的。 不过, 虽不曾强调过, 我们在前面介绍 奇点定理 时所涉及的很多内容, 其实就属于全局方法。 因此, 我们恰好幸运地具备了 “站在巨人的肩膀” 上的便利。 利用这种便利, 让我们对 Page 提到的方法作一个简单介绍。 这种方法的切入点是 奇点与奇点定理简介 第三节 中的 2.3.1 式 (即 Raychaudhuri 方程)。 这是描述测地线束的方程。 对于我们的目的来说, 测地线束中的测地线要选为类光测地线, 固有时间 τ 要改为仿射参数 λ, 切矢量的记号 V 则要改为表示类光矢量的 k, 即:

dθ/dλ = —Rabkakb — (1/3)θ2 — σabσab

(5.3.9)

可以证明, 对于沿径向传播的类光测地线束, 切变张量 σab 恒为零, 因此上式可以简化为 dθ/dλ = —Rabkakb — (1/3)θ2。 由于膨胀标量 θ 描述的是测地线束的会聚或发散, 因而在 “喉咙” 处, 即测地线束从会聚转为发散的地方, θ=0。 另一方面, 由于自喉咙向外测地线束是发散的, 即 θ>0, 因此在 “喉咙” 附近的一个小区域内 dθ/dλ > 0, 从而 Rabkakb < 0。 而这等价于 Tabkakb < 0 (请读者自行证明), 即破坏了零能量条件——与 Thorne 和 Morris 的结果相同。

Page 提到的全局方法不仅 “容易”, 而且还有一个更重要的优点, 那就是不涉及度规的具体形式, 从而可以被推广到更普遍——比如没有对称性——的情形。 事实上, 利用这类方法, 物理学家们已经证明了远比 Thorne 和 Morris 的结果普遍得多的结果, 比如: 全局双曲时空中的可穿越虫洞至少会在一条类光测地线上破坏零能量条件 (从而也破坏弱能量条件、 强能量条件和主能量条件)。 由于全局双曲是一种非常优良、 因而在一定程度上被认为是物理时空所具有的品质 (虽然这种品质从理论上讲似乎太强了一点, 而且极难有验证的可能)。 因此这一结果表明可穿越虫洞对零能量条件 (以及弱能量条件、 强能量条件和主能量条件) 的破坏很可能是普遍的[注五]

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注释

  1. 这里还有一点可以补充 (或作为这一理解的应用), 那就是可穿越虫洞的出入口所连接的渐近平直时空既可以位于同一个宇宙中, 也可以位于不同宇宙中, 前者被称为 “宇宙内” (intra-universe) 可穿越虫洞, 后者被称为 “宇宙间” (inter-universe) 可穿越虫洞。 这两种可穿越虫洞的主要区别在于时空的大尺度拓扑结构, 而虫洞本身的结构可以视为相同, 因此在我们的讨论中将不予区分。
  2. 我们对条件的罗列与 Thorne 和 Morris 的原始论文有所不同, 但实质是一致的。
  3. 依据这一物理意义, b+(∞) 和 b(∞) 的有限性可视为是条件 5 (物质的数量是可观测宇宙可以提供的) 的要求。
  4. 粗看起来, e—2φ(1—b/r) 在 “喉咙” 处为零是 5.3.2 式的推论。 不过, 它其实还有赖于前面提到的另一个结果, 请读者想一想是什么结果?
  5. 忘记了什么是 “全局双曲时空” 的读者请复习 奇点与奇点定理简介第四节

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