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正质量定理简介 (二)
- 卢昌海 -
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二. 广义相对论的动力学
有了孤立体系的定义, 下面我们来讨论孤立体系的总能量动量。 由于能量动量是描述体系动力学行为的物理量,
因此在定义它之前, 有必要对广义相对论的动力学有所了解。 我们知道, Einstein 场方程的左边包含时空度规
gμν 及其一、 二阶导数, 右边则是描述物质分布的能量动量张量 Tμν。
场方程的这种形式, 导致了一种流传很广的误解, 即以为所谓广义相对论的动力学, 就是在时空流形上给定
Tμν, 求解 gμν。 这种说法即便不算完全错误, 起码也是似是而非的。
因为时空流形是四维的, 因此所谓 “在时空流形上给定 Tμν”, 实际上包括了给出 Tμν
作为时间的函数。 但所谓动力学,
它的目的就是寻找物理量——无论其描述的是几何还是物质——随时间的演化, 既然如此,
又怎能事先就给定 Tμν 作为时间的函数呢? 这既没有现实可行性, 也不符合动力学的要求。
那么广义相对论的动力学究竟该如何定义呢? 我们可以回想一下普通力学。 在普通力学中, 要解决一个动力学问题,
往往需要给定所谓的初始条件——即一组动力学变量及其时间导数在初始时刻的空间分布。 对于广义相对论来说,
要想给出初始条件, 首先要对时空进行某种分解, 这样才能谈论所谓的 “初始时刻” 和 “空间分布”。
这种分解的实质, 是将时空流形分解为 Σ3×R1,
其中 Σ3 (下文将省略维数上标) 是三维类空超曲面, 坐标记为 xi (i=1, 2, 3, 下同),
表示空间; R1 则表示时间, 坐标记为 t。 这种分解通常被称为 3+1 分解, 或
ADM 分解 (Arnowitt-Deser-Misner decomposition)。
在这样的分解下, 每个时刻 t 都有一个对应的类空超曲面 Σ。
所谓初始条件, 就是在某个给定时刻 t0 (即所谓 “初始时刻”),
给出一组动力学变量及其时间导数在与该时刻相对应的类空超曲面 Σ 上的数值 (即所谓 “空间分布”)。
有了时空流形的分解, 接下来就可以定义动力学变量。 为此, 我们引进 Σ 的单位法矢量 n,
以及度规 gμν 在 Σ 上的诱导度规
hij = gij + ninj。 细心的读者可能注意到了, 诱导度规 hij
其实就是 奇点与奇点定理简介 的
第二节 中引进的时空度规的 “空间部分”
(不过两者之间有一个符号差异, 请读者想一想这个差异从何而来? |