能量条件简介 (一)

- 卢昌海 -

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一. 引言

大家知道， 广义相对论的场方程 (即 Einstein 场方程)^[注一]：

是一组有关时空度规的二阶非线性偏微分方程， 求解这样的方程组是极其困难的。 在二十世纪六十年代初以前， 物理学家们对 Einstein 场方程的很大一类研究都局限于在各种简化条件 (比如特定的对称性) 下求解场方程。 在这方面最著名的成果是 K. Schwarzschild (1873-1916) 于 1916 年得到的 Schwarzschild 解， 其度规为 (m 为质量参数)：

以及 A. Friedmann (1888-1925) 于 1922 年得到的 Friedmann 解， 其度规为 (R 为标度因子， k 取值为 0、 -1 或 1， 分别对应于平直、 负常曲率及正常曲率空间)^[注二]：

这两个度规分别是广义相对论在天体物理及宇宙学上应用最为广泛的度规。

但这两个解的发现也带来了一个共同的问题， 那就是它们所对应的度规均具有奇异性。 Schwarzschild 度规是一个静态度规， 它的奇异性 (由上面的表达式中可以很容易地看到) 出现在 r=0 及 r=2m 处。 这其中 r=2m 处的奇异性 (一度被称为 Schwarzschild 奇点) 后来被证明只是坐标选择导致的表观奇异性， 可以通过坐标变换予以消除^[注三]； 而 r=0 处的奇异性则是真正的物理奇点， 时空曲率在趋近该点时趋于发散^[注四]。 这个奇点被称为曲率奇点。 Robertson-Walker 度规由于是一个动态度规， 其情形稍微复杂些。 当 k=1 (即空间具有正曲率) 时这一度规在 r=1 处似乎具有奇异性， 但这也是坐标选择导致的表观奇异性 (读者们不妨自己寻找一个坐标变换来消去这一表观奇异性)。 除去这一表观奇异性， 从形式上看 Robertson-Walker 度规似乎没有其它显而易见的奇异性。 但把这一度规代入到场方程中， 研究它的动力学演化就会发现， 对于我们观测到的膨胀宇宙来说， 只要宇宙当前的物质分布满足一个很宽泛的条件， Robertson-Walker 度规中的标度因子 R(t) 在过去某个有限时刻就必定等于零。 在那个时刻 (通常定义为 t=0) 宇宙的空间线度为零， 物质密度则发散， 因此那是一个物理奇点， 被称为宇宙学奇点， 或大爆炸 (The Big Bang)。

很明显， 这些奇点的出现是物理学家们所不乐见的， 因为物理世界中并不存在真正意义上的无穷大。 对于一个物理理论来说， 出现无穷大往往意味着它的失效。 因此奇点的出现对广义相对论是一种危机。 不过当时物理学家们所知道的 Einstein 场方程的解十分有限， 而且这些解大都具有很高的对称性 (因为只有这种情形下的场方程才容易求解)， 比如 Schwarzschild 解具有球对称性， Friedmann 解则是均匀及各向同性的。 这就给物理学家们提出了一个问题： 由这几个特殊解所引发的危机究竟有多大的普遍性？ 或者说奇点会不会只是那几个解所具有的特殊对称性导致的特殊效应 (如果是的话那危机就不算太严重， 因为那些对称性在现实世界里是不可能绝对严格实现的)？ 在二十世纪六十年代， 物理学家们对这一问题有两种不同的看法。 一种看法认为奇点的出现只是对称性导致的特殊效应， 如果考虑一般 (即没有严格对称性) 的情形， 奇点将不会出现。 持这种观点的代表人物是前苏联的 E. Lifshitz (1915-1985)、 I. M. Khalatnikov、 V. A. Belinsky 等。 与之相反的另一种看法则认为奇点在广义相对论中的出现是具有普遍性的。 持这种观点的代表人物是英国的 R. Penrose (1931-) 与 S. W. Hawking (1942-) 等^[注五]。

这两组物理学家在奇点问题上不仅观点迥异， 而且在研究中所用的具体方法也很不相同。 Lifshitz 等人主要把精力放在求解一般情形 (即没有严格对称性) 下的场方程， 以便探讨在这种情形下理论是否不存在奇点； 而 Penrose 与 Hawking 等人则大量运用微分几何手段， 通过所谓的全局方法 (Global Techniques)， 在不直接求解场方程的情况下对奇点及奇点产生的条件进行系统分析。 如果说 Lifshitz 等人的方法是正面强攻， 那么 Penrose 与 Hawking 等人的方法则属于旁敲侧击。 经过几年的努力， 这两种方法分出了高下。 Lifshitz 等人的正面强攻收效不大。 Einstein 场方程委实太过复杂， 虽然 Lifshitz 等人的胃口并不贪婪， 他们只研究宇宙学奇点 t=0 附近的解而非全局性解， 同时也不奢望精确求解而采用近似手段， 但在不具有对称性的情况下， 他们的努力依然遭到了难以逾越的困难。 另一方面， Penrose 与 Hawking 等人的旁敲侧击却获得了极大的成功， 他们证明了一系列被称为奇点定理的著名结果， 成为经典广义相对论中登峰造极的成就之一。

不过 Penrose 与 Hawking 等人的方法虽然无需直接求解场方程， 但它与描述物质分布的能量动量张量的性质依然有着密切的关系。 这一点从物理上讲是显而易见的， 因为正是物质的分布决定了时空的结构。 Einstein 曾经把他的场方程比喻为一座建筑， 这座建筑的一半是用精美的大理石砌成的， 另一半却是用劣质的木料建造的。 用精美的大理石砌成的那一半是方程的左端： R_μν-(1/2)g_μνR， 那是一个描述时空结构的优美的几何量， 被称为 Einstein 张量。 而用劣质木料建造的那一半则是方程的右端， 也就是描述物质分布的能量动量张量： 8πT_μν。 为什么说这部分是用劣质木料建造的呢？ 因为自然界的物质分布种类繁多， 物态方程千差万别， 找不到一个普适的能量动量张量来描述所有已知的物质分布。 不仅如此， 在广义相对论所涉及的许多极端条件 (比如某些星体内部的超高温、 超高压、 超高密度， 宇宙演化的早期， 以及引力坍缩的后期等条件) 下还可能存在大量未知的物质形态与分布。 而且所有这些物质分布还可能在空间及时间上相互混合。 因此与 Einstein 张量所具有的完全确定的数学结构相比， 我们有关能量动量张量的知识是极其贫乏的。

在这种贫乏的知识下， 如何才能研究诸如奇点的产生条件这样与物质的形态与分布密切相关， 同时又具有很大普遍性的课题呢？ Penrose 与 Hawking 等人采用了一种很高明的手法， 那就是虽然谁也无法写下一个具有普适性的能量动量张量， 但这一张量应当具备的某些基本条件 (比方说能量密度必须大于等于零) 在当时看来是具有很大的普适性的， 因此他们假定物质的分布满足这些基本条件。 另一方面， 他们所使用的全局方法的威力之一就在于， 只要利用那些基本条件， 无需知道能量动量张量的具体形式， 就可以得到许多非常有价值的结果。 那些结果便是他们所证明的一系列奇点定理。 而那些附加在能量动量张量上的条件则被统称为能量条件 (energy conditions)。 如果说能量动量张量是用劣质木料建造的， 那么能量条件的引进就好比是套上几道铁箍对那些劣质木料进行加固， 使它比原先的松散形式来得结识耐用。

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注释

1. 这里我们取 c=1 的单位制， 并且暂时不考虑宇宙学项。
2. 在 Friedmann 之后， G. Lemaître (1894-1966)、 H. Robertson (1903–1961)、 A. Walker (1909-2001) 均对这个解做过研究， 因此这个解所对应的度规在文献中有几种不同的名称， 最常见的是 Robertson-Walker (RW) 度规， 也有称为 Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 度规或 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) 度规的。
3. 这一点最早是由 Lemaître 于 1933 年指出的 [虽然早在 1924 年 A. S. Eddington (1882-1944) 就找到过一个在 r=2m 处非奇异的坐标， 但他并没有意识到自己结果的重要性]。 对 Schwarzschild 度规的最大解析延拓则是由 M. D. Kruskal 与 G. Szekeres 各自独立地给出的 (1960 年)。
4. 确切地讲是由曲率张量构造出的某些标量 - 比如 Kretschmann 标量 R^μνρσR_μνρσ - 发散。 这是与坐标选择无关的发散。
5. 对这两种观点的区分 (以及将 Penrose 与 Hawking 视为后一种观点的代表人物) 散见于文献中。 但 Penrose 与 Hawking 是一开始 (即在具有理论证据之前) 就认为奇点的出现具有普遍性， 还是在 Penrose 证明了第一个奇点定理之后才这样认为？ 我在文献中未见到任何说明。

二零零五年十二月二十九日写于纽约
http://www.changhai.org/