宇宙监督假设简介 (二)

- 卢昌海 -

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二. 摧毁黑洞 - Mission Impossible？

对宇宙监督假设的早期考察涉及到一类很特殊的努力， 那就是摧毁黑洞 (或视界， 下同) - 当然只是通过理想实验。 这种努力的基本思路是： 既然宇宙监督假设要求所有奇点都被黑洞所包围， 那么如果有办法在不破坏奇点的情况下将黑洞摧毁， 原先遁迹其中的奇点岂不就象是被扒掉了衣服， 暴露在光天化日之下， 从而变成裸奇点了？ 如果那样， 宇宙监督假设就算被推翻了。 对于一个假设， 能给出证明固然很好， 但推翻显然也是一种解决方式， 而且反过来说， 即便推不翻， 也算积累了证据。 因此这种努力不失为是考察宇宙监督假设的一个直观并且有益的努力方向。

那么黑洞有可能被摧毁吗？

摧毁黑洞， 这似乎是前所未闻的故事。 事实上， 在只有 Schwarzschild 解的情形下， 这个问题或许连提都不会被提出。 因为我们都知道， 由 Schwarzschild 解所描述的 Schwarzschild 黑洞在经典广义相对论中是不可能被摧毁的。 它就象一个贪婪而又吝啬的守财奴， 只认得一件东西， 那就是质量。 而且它对质量向来只知索取， 却绝不付出， 它的视界当然也绝不会凭空消失， 而只会象守财奴的钱包一样越来越大。 但是， Schwarzschild 黑洞只是最简单的黑洞， 自 Schwarzschild 黑洞之后， 物理学家们在广义相对论中又陆续发现了一些更复杂的黑洞解， 它们不仅呈现出了丰富多彩的性质， 而且也为摧毁黑洞提供了一些可能的途径 - 当然， 还只是 “可能”。

那么， 那些更复杂的黑洞是什么样子的呢？ 研究表明， 对于纯 Einstein-Maxwell 耦合体系 (即所谓的电真空 - electrovac - 体系)， 广义相对论的所有稳定 (stationary) 解都由所谓的 Kerr-Newman 度规所描述^[注一]。 这一度规只带三个参数： 质量 m、 电荷 Q， 及单位质量所带的角动量 J - 这一结果被称为黑洞无毛发定理 (no hair theorem)， 或黑洞唯一性定理 (uniqueness theorem)。 对于我们的目的来说， Kerr-Newman 度规的一个令人瞩目的特点是它有两个视界， 分别位于径向坐标 (这里选用 G=c=1 的单位制)：

r_± = m ± (m² - Q² - J²)^1/2

处。 其中位于 r = r₊ 的被称为外视界， 它是事件视界， 这一视界以内的区域被称为 Kerr-Newman 黑洞； 而位于 r = r_- 的被称为内视界， 它是 Cauchy 视界。 假如电荷与角动量都为零， 则内视界消失， 外视界等同于 Schwarzschild 视界。 除此之外， Kerr-Newman 度规还有一个重要特点， 那就是在赤道面上有一个等效半径为 J 的奇环。

由上述视界半径公式， 细心的读者也许自己就能看出一个问题， 那就是内外视界在 Q² + J² = m² 时将趋于重合， 而在 Q² + J² > m² 时则会失去意义， 因为视界公式中的被开方式将会变成负数。 从物理上讲， 这时候 Kerr-Newman 度规将不存在视界， 从而也将不再描述黑洞。 但 Kerr-Newman 度规所具有的奇环却依然存在， 这个奇环此时就变成了所谓的裸奇环， 它的出现将破坏宇宙监督假设。 对于我们雄心勃勃的摧毁黑洞计划来说， 这无疑是一条重要线索。 看来贪婪的黑洞似乎也有弱点， 通俗地讲， 我们只要设法让一个它吃进过量的电荷或角动量， 使得 Q² + J² > m²， 就能把它撑死。

这计谋看起来不错， 但关键是： 它有可能得逞吗？ 这种源源不断地向黑洞输送电荷或角动量， 直至将之摧毁的过程真的有可能实现吗？ 关于这一点， 物理学家们曾经作过分析， 但结果 - 很遗憾 - 却是否定的。 否定的理由其实很直观， 我们在这里介绍一下。 为简单起见， 我们只考虑通过获得过量的电荷来摧毁一个不旋转黑洞 (即所谓的 Reissner-Nordstrom 黑洞) 的努力。 假定我们每次向黑洞投放电荷 δQ， 携带这一电荷的粒子质量则为 δm。 为了让黑洞的电荷增加快于质量增加， 我们要求 δQ > δm。 向黑洞投放这样的电荷在一开始是很容易的， 事实上， 我们只要将电荷放在黑洞周围， 它就会自动被黑洞的引力所俘获。 可惜这样的好光景并不能持久， 随着黑洞的总电量 Q 越来越接近总质量 m， 继续向黑洞投放电荷就会变得越来越困难， 因为黑洞中已有的电荷将会对新投放的电荷 δQ 产生越来越强烈的排斥， 这种排斥最终将会超过质量 δm 所受的引力 (请读者想一想为什么？)。 在这种情况下， 为了让新投放的电荷能被黑洞俘获， 我们就不能简单地将电荷放在黑洞周围， 而必须使劲地将它扔向黑洞， 让它依靠初速度来克服来自黑洞电荷的排斥作用。 但是这么做的副作用却是增加了携带电荷的粒子所具有的初始能量， 即增加了 δm。 1974 年， Robert Wald 计算了这一初始能量的大小， 结果发现若所讨论的黑洞已经处于 Q = m 的极端带电状态， 那么向这一黑洞所投放的新电荷 δQ 所需具有的初始能量为：

δm ≥ δQ

由此可见， 为了能在这种极端情形下继续向黑洞输送电荷， 被输送的电荷所具有的能量将会自动保证 m ≥ Q 继续得到满足。 换句话说， 黑洞是不会因为上面这种输送电荷的方法而被摧毁的。

类似地， 如果我们试图通过向一个 J = m 的极端旋转黑洞投送具有很大轨道角动量的粒子以突破 m ≥ J， 则该粒子所具有的碰撞参数 (impact parameter) 将大到使之无法击中黑洞。 而如果我们试图投送的是一个具有很大自转角动量的粒子， 则该粒子与旋转黑洞之间会产生自旋-自旋相互作用， 这种相互作用同样会阻止其击中黑洞。 将上面这些分析综合起来， 我们看到， 通过向黑洞投放电荷或角动量来摧毁黑洞看来是 Mission Impossible^{[注二][注三]}。 大自然在极端黑洞情形下显示出的保护黑洞的手段， 是令人瞩目的， 简直象是在有预谋地阻止裸奇点的出现， 这是支持宇宙监督假设的一类很直接的证据^[注四]。

三. Penrose 猜想与宇宙监督假设

对破坏宇宙监督假设的可能性的另一类考察是 Penrose 所进行的。 他考虑了一个渐进平直超曲面 S 上满足主能量条件的某种物质分布^[注五]。 我们用 A₀ 表示由这种物质分布所产生的封闭陷获面的面积。 如果宇宙监督假设成立， 那么可以证明， 所有这些封闭陷获面都必须被包含在黑洞之内， 我们用 A 表示黑洞的外视界面积。 在物理上我们预期， 所有的黑洞在经历了各种经典广义相对论所允许的变化 - 比如吸积物质， 辐射引力波等 - 后， 最终将会进入某种稳定的平衡状态， 即变成一个稳定的黑洞。 按照黑洞无毛发定理， 这一稳定黑洞必定是 Kerr-Newman 黑洞。 假定这一 Kerr-Newman 黑洞的外视界面积为 A₁。 我们知道， Hawking 在 1971 年曾证明过一个著名的定理， 叫做黑洞面积定理 (black hole area theorem)， 它表明如果宇宙监督假设成立， 且物质分布满足零能量条件， 那么黑洞的视界面积永不减小^[注六]。 按照这一定理， 显然有 A ≤ A₁。

另一方面， Kerr-Newman 黑洞的外视界面积为 A₁ = 4π(r₊² + a²) (其中 r₊ 为外视界的径向坐标值， 由 上节 的表达式给出)。 不难证明 (请读者自行验证)， Kerr-Newman 黑洞的质量与视界面积之间满足： A₁ ≤ 16πm²。 由于 16πm² 正是质量 m 的 Schwarzschild 黑洞的视界面积， 因此这个结果的物理意义很简单， 那就是在具有相同质量的所有黑洞中， Schwarzschild 黑洞具有最大的视界面积。 将这一结果与上面的不等式 A ≤ A₁ 联立起来， 我们就得到 A ≤ 16πm²。

如果我们进一步假设在整个过程中没有外在的质量来源 (由于渐进平直超曲面 S 实际上就是全空间， 因此这一假设显然是合理的)， 那么 Kerr-Newman 黑洞的质量显然不可能大于 S 上 ADM 质量 M， 即 m ≤ M (ADM 质量的定义请参阅 正质量定理简介的第三节)。 将上述所有环节联系起来， 我们可以看到， 如果宇宙监督假设成立， 那么 S 上的初始条件必需满足一个不等式： A ≤ 16πM²， 其中 A 为 S 上所有外视界的面积之和， M 为 S 上的 ADM 质量。

读者想必认出来了， 这个不等式正是我们在 正质量定理简介的第七节 中介绍过的 Penrose 猜想 (也叫 Penrose 不等式)。 1973 年， Penrose 正是通过类似于我们这里所介绍的推理而提出这一猜想的。 从上述分析中可以看到， Penrose 猜想几乎可以视为是宇宙监督假设的推论， 或者说几乎可以视为是宇宙监督假设成立的必要条件 (但没有任何迹象表明它有可能是充分条件)。 在 第一节 中， 我们已经看到， 宇宙监督假设远比奇点定理来得困难， 而通过上面的分析， 我们又可以看到， 宇宙监督假设要比 Penrose 猜想更为困难。 当然， 上述分析并不构成对这两者关系的数学证明， 因为我们用到了一些未予严格证明的假定， 比如假定所有黑洞最终会变成 Kerr-Newman 黑洞。 但即便如此， 它仍然为寻找破坏宇宙监督假设的努力提供了另一个可能的方向， 那便是寻找破坏 Penrose 猜想的初始条件。

不过， 从我们在 正质量定理简介的第七节 所介绍的情况来看， 虽然 Penrose 猜想目前还只是一个猜想， 但人们在研究这一猜想上已经取得的进展表明， 它最终被证明的可能性是很大的。 因此通过寻找破坏 Penrose 猜想的初始条件来构筑宇宙监督假设的反例， 其希望是很渺茫的。 对于相信宇宙监督假设的人来说， 这显然又是一个好消息， 因为 Penrose 猜想的成立虽然并不意味着宇宙监督假设成立， 但无疑构成一种很强的支持 - 起码， 它可以排除一大类破坏宇宙监督假设的可能性。 也正因为有这么多的好消息， 霍金才会那样信心满满地下注。 只不过， 好消息虽多， 却无法构成证明， 而坏消息哪怕只有一条， 也足以带来麻烦。

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注释

1. Kerr-Newman 度规有时被简称为 Kerr 度规， 不过 Kerr 度规有时又专指 1963 年 Kerr 发现的不带电的稳定轴对称真空解。 这些命名上的自由度读者在阅读文献时需自己按照上下文作出判断。
2. 需要注意的是， 在这些考虑中引力辐射及入射粒子对背景时空的干扰通常被忽略。 此外， 文献中似乎未见有人分析过向极端带电黑洞投放带角动量的粒子， 或向带极端角动量的黑洞投放电荷的情形。 比如 Wald 曾分析过向极端 Kerr-Newman 黑洞投放电荷的情形， 但他的分析看似普遍， 却并不适用于黑洞带极端角动量 (即 J=m, Q=0) 的特殊情形。
3. 另外值得一提的是， 对背景时空为渐进 de Sitter 时空的情形所做的类似研究表明， 在那种情形下通过向黑洞投放电荷或角动量来摧毁黑洞是可以做到的。 不过这对我们的讨论并不产生影响， 因为黑洞的定义、 时空的全局性质等， 本身就与背景时空的渐进结构有着密切关系， 不同的背景时空所对应的物理问题是完全不同的。
4. 这一结果与所谓的黑洞热力学第三定律有很好的相容性， 按照黑洞热力学， 极端黑洞的温度为零， 而黑洞热力学第三定律表明无法使黑洞的温度达到绝对零度， 即无法使黑洞达到极端状态。
5. Penrose 最初考虑的是球对称的 null dust (即能量动量张量为 ρk^ak^b， k^a 为类光矢量的物质)。 但球对称与 null dust 这两个条件对论述来说并非是必需的。
6. 有些文献将证明黑洞面积定理所需的能量条件表述为弱能量条件， 甚至强能量条件， 这是不必要的要求。

二零零八年三月二十七日写于纽约
http://www.changhai.org/