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黎曼的一段耐人寻味的话

- 卢昌海 -

前段时间回了一趟国, 当然, 免不了要逛逛书店。 在所购买的少数理科类图书中有 Felix Klein 的《数学在 19 世纪的发展》(共两卷)。 出于在 文科刍议——拙劣翻译与文科研究的风险 一文所提到的原因, 我近来已极少购买译作 (哪怕是理科的译作)。 不过, 这套书的译校者中有较信赖者 (比如齐民友), 原始语种 (德语) 非我所能阅读, 以及不存在完整英译本这几大特点还是使我破了一次例。

回到纽约后, 随手翻看了第二卷译者李培廉所撰的译后记。 该译后记的内容颇为翔实, 既有对翻译过程及翻译心得的回顾, 也有对图书本身的介绍。 其中对附录 III 的介绍引起了我的兴趣。 该附录所收录的是黎曼 (Bernhard Riemann) 1854 年的著名演讲 “论奠定几何学基础之假设” (On the hypotheses which lie at the foundation of geometry)。 这篇在黎曼去世后的 1868 年才发表的演讲奠定了黎曼几何的基础, 是黎曼一生最重要、 对后世影响最大的论文之一。

引起我兴趣的是李培廉用粗体字特意强调的一小段话, 那是黎曼在评述无穷小线元长度可以用一个二次微分式的平方根来表示的假设 (用现代记号来表示, 即 ds2 = gijdxidxj) 时所写的:

如果线元可用一二次微分式的平方根来表示的假设不成立, 更为复杂的关系就可能出现。 但是现在看来确立空间度量基础的经验的概念, 即刚体和光线的概念, 在无穷小的范围内已经失效; 因此很可以设想, 在无穷小的范围内空间的度量关系与几何学的假设并不相符……

这段文字是李培廉的译文, 相应的英文版 (由著名英国数学家 William Kingdon Clifford 所翻译) 文字为:

Still more complicated relations may exist if we no longer suppose the linear element expressible as the square root of a quadric differential. Now it seems that the empirical notions on which the metrical determinations of space are founded, the notion of a solid body and of a ray of light, cease to be valid for the infinitely small. We are therefore quite at liberty to suppose that the metric relations of space in the infinitely small do not conform to the hypotheses of geometry……

两者大体是一致的。

李培廉盛赞了这段话, 叹之为 “多么惊人的远见卓识”, 并认为是广义相对论的发展吸引了太多的注意力, 才使 “这一高瞻远瞩的思想没有得到应有的重视”, 以至于直到量子力学诞生之后才由 Hermann Weyl 在 “几何学与物理学” 一文中作了以下阐释:

在量子理论中, 我们相信已经认识到, 那些概念 [卢注: 指刚体和光线的概念] 在接近无限小的时候是如何变得站不住脚的: 当维度 [卢注: 宜译为 “线度” 或 “尺度”] 达到了作用量子的有限值能被感觉到时, 所有物理量的统计学上的不确定性就越来越强地显示出来。

除引述 Hermann Weyl 的话外, 李培廉自己也补充道:

这一点在近年来更在颇受人关注的 “超弦” 理论中得到了应验: 按照这个理论, 在尺度为 Planck 单位范围内, 空间是 11 维的…… 但是这个 11 维的空间只有一个时间维和三个空间维是伸展开来的, 其他维都卷起来了……

这些意在论证 (或 “应验”) 黎曼的 “远见卓识” 或 “高瞻远瞩” 的物理阐释——Weyl 的以及李培廉自己的——其实都是似是而非的, 因为量子力学并未在 “维度达到了作用量子的有限值能被感觉到” 的情形下修正无穷小线元长度可以用一个二次微分式的平方根来表示的假设; 超弦理论中的高维空间也并不影响上述假设 (事实上, 黎曼那篇论文本身就是涵盖高维空间的)。 不过, 比这种对物理理论的似是而非的援引更值得注意的, 是这种 “论证” 本身对黎曼的话就有一定的误解, 因为这种 “论证” 首先是把黎曼的话当成了 “远见卓识” 或 “高瞻远瞩”。 这两个形容词一般而论, 黎曼显然是当之无愧的, 但具体到上面那段话, 却似乎与黎曼的语气有一定的出入, 因为 “远见卓识” 或 “高瞻远瞩” 都有一种将那段话当作预见或猜测的意味, 而黎曼所说的却是 “但是现在看来 …… 已经失效” (Now it seems …… cease to be valid), 这并不是预见或猜测的口吻, 而更像是在叙述一件事实, 或对事实的某种诠释。

这就引发了一个有趣的问题: 在他作演讲的 1854 年, 究竟是什么事实——哪怕是传闻性的 “事实” 甚至误解——使黎曼以这种近乎肯定的语气写下了 “刚体和光线的概念, 在无穷小的范围内已经失效” (the notion of a solid body and of a ray of light, cease to be valid for the infinitely small) 那样的话?

对这个问题, 我觉得好奇和耐人寻味, 但尚无头绪。 以我对物理学史的了解, 当时 (即 1854 年) 应该并不存在任何物理上有影响力的东西, 能够哪怕如 Weyl 对量子力学或李培廉对超弦理论的似是而非的援引那样, 被解读为 “刚体和光线的概念, 在无穷小的范围内已经失效”。 读者们若想到什么, 或有什么见解, 欢迎提出来讨论。

我之所以讨论这段话, 还有一个原因, 那就是想起了拙作 Riemann 猜想漫谈 中提到过的黎曼以肯定的语气写下的许多其他命题——尤其是迄今未能证明的有关黎曼 ζ 函数非平凡零点分布的所谓 “第二个命题” (参阅 Riemann 猜想漫谈第五节)。 由于黎曼的巨大声望, 数学家和数学史学家大都对黎曼论文中的语气给予了比较认真的看待, 甚至因此而不无困扰, 拙作也附从了那样的看待。 不过本文所讨论的这段在当时的物理上似乎没有可能存在依据、 却被黎曼以近乎肯定的语气写下的话, 使我忽然产生了一个想法: 会不会是黎曼对文字语气的运用其实没有人们想象的那样严谨[注一]? 若如此, 则那些被黎曼以肯定或近乎肯定的语气写下的话——不限于本文所讨论的——就未必是陈述事实了, 而那些因视其为事实而出现的困扰则有可能是 “过分解读”。 当然, 如此一来, 那些话的大部分就确实变成了 “远见卓识” 或 “高瞻远瞩”。

注释

  1. 另一种可能性是黎曼的有些用词在从德语翻译成其它语言时显示出了比原先更强的语气, 这种可能性懂德语的人应该很容易核实或排除, 我不懂德语, 因此列出供讨论。

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